Differential problems with stochastic boundary conditions

In this thesis a specific kind of stochastic problems is treated: partial differential equations with white noise boundary conditions. First results about this topic can be found [DZ93]. This topic was introduced recently, its literature is still very fragmented and wide possibilities of development are available. This kind of equations has a relevant modeling interest. In fact, in several physical cases, random perturbations come from the boundary of the domain and are not distributed inside it [DL06], [Kim06]. In the first part of the thesis, I will recall part of the literature available on this kind of problems, dwelling on the heat equation, proving that the solution of this problem belongs to proper functional spaces and has some regularity properties. The heat equation was the first problem where white noise boundary conditions were introduced, therefore its literature is more detailed. In addition, it was proven that different boundary conditions lead to different regularity for the solution of the heat equation with white noise boundary conditions. Subsequently, I will analyze a fourth order linear evolution equation with several stochastic boundary conditions. No results are available on this kind of problems. However, it is possible to replicate what has been recalled for the heat equation, getting analogous results to the ones found in [DZ93], [AB02b] and improve, focusing on a specific case, the results proven in [Mas95].

In questa tesi viene trattata una particolare classe di problemi stocastici: equazioni differenziali con condizioni al bordo stocastiche di tipo rumore bianco. I primi risultati su questo argomento si trovano in [DZ93]. Questo argomento è stato introdotto recentemente, la letteratura è ancora molto frammentata e sono possibili ampi margini di sviluppo. Questo tipo di equazioni ha un importante interesse modellistico. In diversi problemi d'interesse fisico, le perturbazioni caotiche provengono dal bordo del sistema e non sono distribuite al suo interno [DL06], [Kim06]. Nella prima parte di questa tesi si ripercorrerà parte della letteratura presente su questo tipo di problemi, soffermandosi sull’equazione del calore, provando l’appartenenza della soluzione a opportuni spazi funzionali e alcune sue proprietà di regolarità. L’equazione del calore è stata la prima su cui sono state introdotte condizioni al bordo stocastiche di tipo white noise e i risultati a riguardo sono meglio dettagliati. Inoltre, è noto per questa equazione che problemi al bordo diversi portano a risultati differenti nella regolarità della soluzione. Successivamente si analizzerà un’equazione di evoluzione lineare del quarto ordine con vari tipi di condizioni al bordo stocastiche. Non sono disponibili risultati su questa tipologia di problemi. Tuttavia, è possibile estendere i risultati noti per l’equazione del calore [DZ93], [AB02b] e migliorare, focalizzandosi su un caso specifico, i risultati di [Mas95].