PDE-aware deep learning for inverse problems in cardiac electrophysiology

The last decades have been characterized by the explosive growth of available data and computational resources. This has led to stunning advances in the field of Deep Learning and also to significant improvements in the numerical approximation of physical problems via PDEs. Despite their parallel success, the two fields have maintained a clean separation margin, at least until the last few years; recently, indeed, some works addressing an integration between those have started to appear and PDE-aware DL models have been introduced. These models proved to be successful in the so-called small data regime, i.e. in frameworks characterized by a scarcity of precise and easily retrievable data, which is anyway compensated by proper knowledge of some of the physical laws that govern the problem of interest. A context of this kind is the one of the Inverse Problem of Electrocardiography, whose aim is to estimate the electric potential at the epicardium from its knowledge in a discrete set of points in the torso. Such problem has become central in contemporary biomedical research, configuring as the theoretical basis of ECGI, but, due to its ill-posedness, all State-Of-Art numerical algorithms feature severe weaknesses. Because of this, we present here a PDE-aware DL model, named Space-Time Reduced-Basis Deep Neural Network (ST-RB-DNN), which estimates the solution to the Inverse Potential Problem both leveraging available data and exploiting the knowledge of some underlying physical laws. This last goal is carried out in two ways: predicting the epicardial potential as projected onto a Space-Time-Reduced subspace, generated from the training dataset, and inserting a RB-solver of the Forward Problem within the network architecture. The project proposes itself as a methodological analysis and additional efforts should be made in order to apply it in the clinical setting. Several numerical tests have been conducted, both on a simplified test case, employing idealized geometries and using 12-lead ECG signals as input, and in a slightly more realistic setting, making use of human-shaped geometries and processing surface potentials, recorded by electrodes placed on the torso.

Gli ultimi decenni sono stati caratterizzati da un'enorme crescita sia della quantità di dati utilizzabili che di risorse computazionali. Ció ha portato ad incredibili sviluppi nel campo del Deep Learning, nonché a significativi miglioramenti nell'approssimazione numerica di fenomeni fisici, tramite PDEs. Nonostante i contemporanei progressi, tra i due campi è stato sempre mantenuto un chiaro margine di separazione; nell'ultimo decennio, tuttavia, sono stati realizzati diversi lavori mirati ad una loro integrazione ed i PDE-aware DL models sono stati introdotti. Tali modelli si sono dimostrati efficaci nel cosiddetto regime degli small data, i.e. in contesti caratterizzati da una povertà di dati precisi e facilmente misurabili, la quale viene peró compensata dalla conoscenza di alcune delle leggi fisiche governanti il fenomeno d'interesse. Un esempio in tal senso è offerto dal Problema Inverso dell'Elettrocardiografia, il cui obiettivo è stimare il potenziale all'epicardio a partire dalla sua conoscenza in alcuni punti del torso. Tale problema è divenuto centrale nella ricerca biomedica contemporanea, configurandosi come la base teorica dell'ECGI, ma gli algoritmi numerici correntemente utilizzati sono caratterizzati da significative lacune. In ragione di ció, presentiamo un PDE-aware DL model, chiamato Space-Time Reduced-Basis Deep Neural Network (ST-RB-DNN), che stima la soluzione del Problema Inverso dell'Elettrocardiografia sfruttando sia l'abbondanza di dati sia la conoscenza di alcune delle leggi fisiche sottostanti. Quest'ultimo obiettivo è realizzato per mezzo di due elementi: la predizione del potenziale epicardico proiettato su un sottospazio ridotto sia in spazio sia in tempo, generato a partire dal training dataset, e l'inserimento di un solutore RB del Problema Diretto nell'architettura della rete. Il progetto si propone come un'analisi metodologica. Vari test numerici sono stati condotti, sia in un caso benchmark semplificato, impiegando geometrie idealizzate ed utilizzando segnali 12-lead ECG come input, sia in un contesto più realistico, facendo uso di migliori geometrie e processando 158 segnali, misurati tramite elettrodi posizionati sul torso.