Persistent homology and fractal dimension for the detection of sleep stages and K-complexes in EEGs

The main contribution of this work is the developement of an algorithm for the automatic detection of sleep stages and K-complexes from brain signals collected with electroencephalograms (EEGs). The classification of polysomnographies is an onerous operation that is stil performed at sight by physicians and researchers. K-complexes are waveforms that appear in the NREM-2 sleep stage, and are characterized by an initial negative phase followed by a rapid raising phase, with high voltage. The densitiy of K-complexes during sleep could be connected with the onset of neurodegenerative diseases. The detection is carried out through a supervised learning method; specifically, a random forest scheme. The classifiers have been trained with features from persistent homology and chaotic dynamical systems for the detection of K-complexes and sleep stages, respectively. Takens' Theorem permits the recovery of the topology of the state space generated by the signals via the embedding known as Sliding Window. The signals, that are collected in the form of discrete time series, are embedded into point clouds. The dissertation presents some fundamental results of computational algebraic topology on the optimized computation of the persistent homology classes from a point cloud. In addition, the basic definitions of chaotic dynamical sistems are introduced together with the notion of fractal dimension; the latter is useful in the detection of sleep stages. Feature extraction is performed by studying the persistent homology classes and the chaoticness of the topological spaces which are obtained as images of this embeddings. The numerical results are obtained over a dataset of multiple polysomnographies provided by San Raffaele Hospital of Milan. The precision of the methods are comparable with the ones present in the scientific literature.

Il contributo principale di questo lavoro è lo sviluppo un algoritmo di rilevamento automatico delle fasi del sonno e dei complessi K a partire da segnali cerebrali collezionati tramite elettroencefalogramma (EEG). La classificazione delle polisonnografie è un compito oneroso che viene eseguito a occhio ancora oggi da molti medici e ricercatori. I complessi K sono forme d'onda presenti nella fase 2 di sonno non-REM, e che si caratterizzano per una primo stadio negativo seguita da un secondo stadio di rapida risalita, ad alta tensione. La densità di complessi K durante il sonno potrebbe essere collegata all'insorgenza di malattie neurodegenerative. Il rilevamento viene effettuato tramite un metodo di supervised learning; nello specifico, sono state implementate due foreste casuali allenate con features provenienti dall'omologia persistente per la classificazione dei complessi K, e dalla teoria dei sistemi dinamici caotici per la classificazione delle fasi del sonno. Il teorema di Takens permette di recuperare la topologia dello spazio delle fasi generato dai segnali tramite l'immersione conosciuta come Sliding Window. I segnali, raccolti nella forma di serie temporali a tempo discreto, vengono trasformati in nuvole di punti. La tesi si propone di presentare alcuni risultati fondamentali di topologia algebrica computazionale che permettono il calcolo ottimizzato delle classi di omologia persistente da una nuvola di punti. Inoltre vengono esposte le basi della teoria dei sistemi dinamici caotici e discussa la nozione di dimensione frattale, utile per il riconoscimento delle fasi del sonno. L'estrazione delle features viene eseguita studiando le classi di omologia persistente e la caoticità degli spazi topologici ottenuti come immagini di queste immersioni. I risultati numerici ottenuti su di un dataset composto da varie polisonnografie fornite dall'ospedale San Raffaele di Milano sono paragonabili con quelli della letteratura.