Analytical correction of corner singularity for the turbulent flow over riblets

A corner correction method capable to keep high computational efficiency even for bodies with geometric singularities is here presented and applied to the V-shaped riblets (α = 60◦) in simple Stokes flow for the protrusion heights computation, and in turbulent flow to measure the drag reduction. The work of Luchini [15] to correct the solution near the edge for the cavity problem, is analytically demonstrated for a V-shaped riblet. Once the Stokes equations are solved for the stream function ψ and the vorticity ω in the polar coordinate system centred in the edge, the spanwise velocity components v_st and wall-normal w_st Stokes solutions are computed. Subsequently, substituting them into the momentum equation, the pressure p_st is obtained by integration. The velocity component parallel to the edge u_st, instead is the result of the Laplace equation for the problem described. The method is thus implemented for the DNS solver of the incompressible Navier-Stokes equations developed by Luchini, and firstly validated by comparing the protrusion heights evaluated at different resolutions and aspect ratios of the computational grid, with the corresponding analytical quantities reported in Luchini et al. [17]. An improvement of almost an order of magnitude, quantified by the number of points per riblet necessary to have a comparable error on the difference ∆h is observed. The turbulent channel is performed at Reτ = 200 for the two lowest resolution cases, 8 and 16 points per riblet, to measure the drag reduction R around the optimum of its curve: s+ = 16. The code with corner correction approached the Bechert et al. [3] values of drag reduction with an error of about 2%, while the original code was even unable to measure a positive drag reduction. Finally, an extension of the method is proposed to geometries whose plane containing the section freely rotate around the wall-normal axis z along the main flow direction; and therefore it is tested for three different sinusoidal geometries of the same V-shaped riblets.

E’ qui presentato un metodo di correzione dello spigolo che permette al solutore DNS delle equazioni incomprimibili di Navier-Stokes, di mantenere un’elevata efficienza computazionale anche in presenza di singolarità geometriche; tale metodo è poi applicato alle V-riblets (α = 60◦) per il calcolo delle altezze di protrusione in corrente semplice di Stokes, e in corrente turbolenta per misurare la riduzione di attrito. Il lavoro di Luchini [15] per correggere la soluzione nell’intorno dello spigolo del problema di cavità, viene analiticamente dimostrato nel caso di una V-riblet. Una volta risolto il sistema di Stokes per la funzione di corrente ψ e la vorticità ω nel sistema di coordinate polari centrato nello spigolo, è possibile calcolare le componenti di velocità spanwise v_st e wall-normal w_st soluzioni di Stokes. Successivamente, si sostituiscono nell’equazione del momento della quantità di moto, la cui integrazione conduce all’espressione della pressione p_st. La componente di velocità parallela allo spigolo u_st è invece il risultato dell’equazione di Laplace per il problema descritto. Il metodo viene quindi implementato nel codice DNS sviluppato da Luchini, e validato in primo luogo, mediante il confronto delle altezze di protrusione con le medesime quantità analitiche riportate in Luchini et al. [17], per diverse risoluzioni e aspect ratio della griglia computazionale. Si osserva un miglioramento di quasi un ordine di grandezza, quantificato dal numero di punti per riblet necessari ad avere un errore comparabile sulla differenza ∆h. Vengono poi simulati a Reτ = 200 in corrente turbolenta i due casi con risoluzione più bassa, 8 e 16 punti per riblet, per misurare la riduzione di attrito R nell’intorno dell’ottimo della curva: s+ = 16. Il codice con correzione si è avvicinato ai valori di Bechert et al. [3] con un errore del 2% circa sulla riduzione di attrito, mentre il codice originale non è stato nemmeno in grado di misurare una riduzione di resistenza. Per concludere si propone un’estensione del metodo a geometrie il cui piano contenente la sezione è libero di ruotare attorno all’asse normale alla parete z lungo la direzione del flusso; e testato per tre diversi andamenti sinusoidali delle stesse V-riblets.