Geostatistics analysis on functional data decoupled in phase and amplitude variability

In the context of the functional data analysis (FDA), there are some methods that allow to decompose the original functions into warping functions and alignment functions, the first accounting for the phase variability, instead the second taking into account the variability of amplitude. The alignment step was however considered as a preprocessing step that allowed to focus on the amplitude variability. However, it was later understood that phase variability allows to obtain very important information. The goal of our work is therefore to show that phase variability must actually be considered and in particular that if we make some geostatistics analysis, it is better to decouple the original functions into warping functions and aligned functions, study them separately and in a second moment to re-couple the results obtained. First we explained what phase and amplitude variability are. We then discuss how to carry out geostatistical analyses to functions belonging to the space L2 and to those belonging to Hilbert spaces. We then show how to apply these analyses to the warping and alignment functions. In particular as regards the analyses on the warping functions, we study their derivatives which are embedded in the Bayes spaces. Finally we investigate an application in the seismological field, thus showing that the error made in the analyses on the original functions is on average greater than the error made by doing the separate analyses of phase and amplitude variability.

Nell’ambito dell’analisi su dati funzionali (FDA) sono stati sviluppati metodi che permettono di decomporre le funzioni originali in funzioni di decomposizione, che tengono conto della variabilita ́ di fase, e in funzioni di allineamento, che invece tengono conto della variabilita ́ di ampiezza. Lo step di allineamento pero ́ veniva inizialmente considerato come uno step di preelaborazione che permetteva di concentrarsi sulla variabilita ́ di ampiezza. Suc- cessivamente si ́e capito che la variabilit ́a di fase permette di ottenere informazioni molto importanti. L’obiettivo quindi del nostro lavoro ́e mostrare che effettivamente la variabilit ́a di fase deve essere considerata ed in particolare che, se si vogliono attuare analisi geo- statistiche, ́e meglio disaccoppiare le funzioni originali in funzioni di deformazione e funzioni allineate, studiarle separatamente e in un secondo momento riaccoppiare i risultati ottenuti. Come prima cosa quindi abbiamo spiegato cosa sono variabilita ́ di fase ed ampiezza. Abbiamo poi discusso come attuare analisi geostatistiche a funzioni che apparten- gono allo spazio L2 e a quelle che appartengono agli spazi di Hilbert . Poi abbiamo mostrato come poter applicare queste analisi alle funzioni di defor- mazione e a quelle di allineamento. In particolare per quanto riguarda le analisi sulle funzioni di deformazione, abbiamo studiato le loro derivate che sono incor- porate negli spazi di Bayes. Infine abbiamo indagato un’applicazione nell’ambito sismologico, mostrando cos ́ı che l’errore commesso nelle analisi sulle funzioni originali ́e in media maggiore rispetto all’errore commesso facendo le analisi separate.