Bayesian physics-informed neural networks for inverse uncertainty quantification problems in cardiac electrophysiology

In this Thesis, we address Inverse Uncertainty Quantification problems related to partial differential equations (PDEs). These problems are very challenging from a numerical point of view since classical approaches require to numerically approximate multiple times a PDE to infer input parameters and their distributions. To solve this issue, we rely on Physics-Informed Neural Networks (PINN), a novel technique in Scientific computing which combines a data-driven approach with the knowledge of physics-based models. In particular, we adopt a variant of PINN called Bayesian Physics-Informed Neural Network (B-PINN), which approximates the posterior distribution of the unknown parameters starting from some prior knowledge. From the resulting distribution, the uncertainty on the parameters estimates is quantified using suitable reliability intervals. We focus on the Laplace equation to validate our method, and on the (nonlinear) Eikonal equation to address a challenging problem in cardiac electrophysiology: the reconstruction of the activation times' pattern in the cardiac tissue from noisy sparse measurements. We compare B-PINNs using different sampling methodologies varying both the number of data and the noise level. The final application consists of estimating the posterior distribution of both the activation times and the conduction velocities (from which we extract the mean and the standard deviation) by using noisy data coming from sparse surface measurements. In this respect, we carry out some experiments relying on synthetic datasets in simple domains and we assess the accuracy of the implemented B-PINN technique and its computational performances. Also, new techniques like Active Sampling and Transfer Learning in subdomains are applied to improve accuracy in the activation time reconstruction and to speed up the training process.

In questa tesi abbiamo affrontato problemi inversi di quantificazione dell'incertezza governati da equazioni alle derivate parziali. Questi problemi sono molto dispendiosi da un punto di vista numerico, dal momento che gli approcci classici richiedono di risolvere una PDE molte volte per trovare i parametri di input. Per risolvere questi problemi, abbiamo utilizzato una nuova metodologia recentemente introdotta nel calcolo scientifico, le reti neurali fisicamente informate (PINN), che uniscono un approccio guidato dai dati con la conoscenza di un modello fisico. In particolare, abbiamo utilizzato una variante dei PINN in un contesto Bayesiano, le reti neurali Bayesiane fisicamente informate (B-PINN). Partendo da una conoscenza a priori dei parametri, si costruisce una distribuzione a posteriori e si quantifica la variabilità delle stime usando intervalli di credibilità. Ci siamo concentrati in particolare sull'equazione di Laplace, per validare la nostra metodologia, e sull'equazione Eikonale (non lineare), che è stata invece usata per risolvere un difficile problema nell'elettrofisiologia cardiaca: la ricostruzione della mappa di attivazione nel tessuto cardiaco partendo da misurazioni sparse e affette da errore. Abbiamo comparato il metodo B-PINNs usando diversi metodi di sampling variando sia il numero di dati che il livello di errore. Il nostro obiettivo finale è quello di stimare la distribuzione a posteriori sia dei tempi di attivazione che delle velocità di conduzione (dai quali calcoliamo media e deviazione standard) usando dati sparsi e affetti da rumore ottenuti a partire da mappe di attivazione cardiaca. A questo proposito, abbiamo condotto diversi esperimenti usando dataset sintetici in domini semplici e verificando l'accuratezza delle metodologie implementate e le loro performance computazionali. Oltre a questo, nuove tecniche come Active Learning e Transfer Learning sono state applicate in questo campo per migliorare l'accuratezza e velocizzare la fase di training.