Turbulent skin-friction drag reduction described with AGKE and triple decomposition

A fully developed channel flow, subjected to oscillatory spanwise wall motion, is studied with a focus on the interaction between the coherent velocity profile introduced by the control, i.e. the Stokes layer, and the near-wall cycle. Two Direct Numerical Simulations have been performed for the controlled and uncontrolled flows at constant power input (CPI), such that at statistical equilibrium both simulations have the same power input. Our study relies upon the Anisotropic Generalised Kolmogorov Equations (AGKE), the exact budget equations for the second-order structure function tensor ⟨δuiδuj⟩. The AGKE highlight the production, transport, redistribution and dissipative processes of each component of the Reynolds stresses considering simultaneously the physical space and the space of scales. In the present work, we have derived and used the AGKE written for a triple decomposition of the velocity which takes into account the presence of mean, coherent and stochastic contributions. The effect of the control on the terms of the AGKE has been described and linked to changes in the near-wall cycle dynamics. The decreased intensity of the normal components ⟨δuiδui⟩ and the shift of their largest values towards smaller scales indicate an overall weakening of the near-wall structures and a shrinking of their sections. The Stokes layer transfers its energy to the stochastic turbulent fluctuations directly interacting with ⟨δwδw⟩ only. This process occurs at precise wall distances and scales — naturally highlighted by the AGKE — that further elucidate the dynamics of the near-wall structures and their interaction with the Stokes layer when the control is applied. The spatial and scale fluxes show that the transport processes weaken in the controlled case but qualitatively remain almost unchanged with the excess of ⟨δuiδui⟩ in the buffer layer transferred at all wall distances and in a wide range of scales. For ⟨δuδu⟩ the fluxes feature a slight shift towards larger wall distances, in agreement with the thickening of the viscous sublayer. However, the same does not hold true for ⟨δvδv⟩ and ⟨δwδw⟩ indicating that the thickening of the viscous sublayer mainly influences the dynamics of ⟨δuδu⟩. The effect of the control on the AGKE term for ⟨-δuδv⟩ is not trivial. In the controlled case the production of ⟨-δuδv⟩ increases and its largest values shift towards larger wall distances and smaller scales. On the other hand, the pressure strain becomes more negative and its largest values shift towards the wall. This leads to an increase of the negative sink of ⟨-δuδv⟩ in the buffer layer accompanied by the increase of positive source of ⟨-δuδv⟩ at slightly larger wall distances and smaller scales. Interestingly, in the control case, a new region of positive source arises in the viscous sublayer.

Il seguente lavoro descrive una corrente turbolenta confinata tra due pareti, modificata da una controllo volto alla riduzione d'attrito. Nello specifico, l'analisi è focalizzata sull'interazione tra il profilo di velocità coerente, introdotto dalla tecnica della parete oscillante (Stokes layer), e il ciclo di parete. Sono state eseguite due simulazioni numeriche dirette (DNS) per una corrente senza forzamento e una corrente controllata, mantenendo la potenza per il pompaggio costante (CPI) in modo tale che all'equilibrio statistico esse abbiano la stessa potenza di pompaggio. Questo studio si basa sulle Anisotropic Generalised Kolmogorov Equations (AGKE), le equazioni di bilancio del tensore delle funzione di struttura del secondo ordine ⟨δuiδuj⟩. Le AGKE descrivono i processi di produzione, trasporto, redistribuzione e dissipazione di ogni componente degli sforzi di Reynolds considerando simultaneamente lo spazio delle scale e lo spazio fisico. In questo lavoro sono state derivate le AGKE scritte per una tripla decomposizione della velocità in contributo medio, coerente e fluttuante. L'effetto del controllo in termini di AGKE è stato descritto e associato ai cambiamenti che esso impone alla dinamica del ciclo di parete. La diminuzione dell'intensità delle componenti normali ⟨δuiδui⟩ e lo spostamento dei loro valori massimi verso scale più piccole indica un indebolimento delle strutture vicino a parete e una diminuzione della loro sezione. Lo Stokes layer trasferisce energia alle fluttuazioni turbolente interagendo direttamente solo con ⟨δwδw⟩. Questo processo avviene a una precisa distanza dalla parete e a precise scale — naturalmente descritte dalle AGKE — che chiariscono ulteriormente la dinamica delle strutture del ciclo di parete e della loro interazione con lo Stokes layer. I flussi spaziali e di scala mostrano che i processi di trasporto sono indeboliti dall'imposizione del controllo, sebbene qualitativamente rimangano invariati, con l'eccesso di ⟨δuiδui⟩ che viene trasferito dal buffer layer verso diverse distanze da parete e diverse scale. Le linee di campo dei flussi di ⟨δuδu⟩ vengono traslate a una maggiore distanza da parete, in accordo con l'ispessimento del substrato viscoso. Lo stesso spostamento non avviene per i flussi di ⟨δvδv⟩ e ⟨δwδw⟩, indicando che l'ispessimento del substrato viscoso influenza prevalentemente la dinamica delle strisce ad alta e bassa velocità del ciclo di parete. L'effetto del controllo su ⟨-δuδv⟩ mostra che la produzione di questo termine aumenta e il suo valore massimo si sposta a distanze maggiori dalla parete. Al contrario, il termine di interazione tra pressione e velocità diventa maggiormente negativo e il suo massimo valore si sposta più vicino a parete. Questo spostamento relativo tra produzione e pressure strain porta all'incremento nel buffer layer dell'intensità sia del pozzo negativo di ⟨-δuδv⟩, sia della sua sorgente positiva. Inoltre, una nuova zona di sorgente positiva viene creata nel substrato viscoso, quando il controllo è attivo.