Reproducing kernel techniques and polyanalytic function theory in hypercomplex analysis

In this dissertation, we present some mathematical methods and techniques involving reproducing kernel Hilbert spaces (RKHSs) and associated integral transforms in the setting of complex, quaternions and Clifford analysis. The focus will be on some particular examples such as Fock spaces and Segal-Bargmann theory, Bergman spaces, Hardy spaces and Gabor spaces. These models are very important in several areas of mathematics including complex analysis, functional analysis, operator theory, etc. They have some important applications in mathematical physics, more precisely, in quantum mechanics, signal processing and time frequency analysis. It turns out that such spaces are relevant also to develop support vector machines (SVMs) kernel methods. In particular, Fock spaces are related to the radial basis function (RBF) kernels that are popular kernels used in machine learning. In the first part of the thesis, we study Fock spaces of slice hyperholomorphic functions in the Hilbert and Banach cases. We obtain new quaternionic approximation results both in the first and second kind theory. We develop also Segal-Bargmann transforms in the noncommutative case of quaternions and give descriptions in terms of generalized versions of the creation and annihilation operators. In particular, we deal with an extension of the Cholewinski-Fock space in this setting. Moreover, based on the quaternionic Bargmann transform we introduce and study a quaternionic short-time Fourier transform QSTFT with a Gaussian window that can be computed for hypercomplex signals. In the second part of the thesis, we introduce a special Clifford-Appell system which can be obtained using the Fueter mapping theorem. We study the behaviour of such system of polynomials with respect to the classical Cauchy-Kowalevski product. Then, we present some new QRKHS of Fueter hyperholomorphic functions based on this Clifford-Appell system. We study in this case different kernel techniques and integral transforms concerning the Fock, Hardy and Bergman spaces and associated operators. We compute also the Bergman kernel function on different quaternionic domains. Finally in the last part of this thesis, we introduce a new theory of polyanalytic functions in hypercomplex analysis. It turns out that this theory contains an interesting subclass of special monogenic functions of axial type and we prove a poly Cauchy formula. Then, we relate different polyanalytic function theories in hypercomplex analysis by providing two extended versions of the famous Fueter-Sce-Qian mapping theorem. We prove also an integral representation of this result as a direct application of the poly Cauchy formula. The results obtained in this dissertation open various questions and research problems to investigate in the future, that are discussed in the last section.

In questa dissertazione, presentiamo alcuni metodi matematici e tecniche che coinvolgono la riproduzione di spazi di Hilbert del kernel (RKHS) e trasformate integrali associate nell'impostazione di complessi, quaternioni e analisi di Clifford. L'attenzione si concentrerà su alcuni esempi particolari come gli spazi di Fock e Segal- Teoria di Bargmann, spazi di Bergman, spazi di Hardy e spazi di Gabor. Questi modelli sono molto importanti in diverse aree della matematica tra cui analisi complessa, analisi funzionale, teoria degli operatori, ecc. Hanno alcune importanti applicazioni nella fisica matematica, più precisamente, nella meccanica quantistica, elaborazione del segnale e analisi della frequenza temporale. Risulta che tali spazi sono rilevanti anche per sviluppare metodi del kernel di support vector machine (SVM). In particolare, gli spazi di Fock sono correlati ai kernel della funzione di base radiale (RBF) che sono kernel popolari utilizzati nelle macchine apprendimento. Nella prima parte della tesi si studiano gli spazi di Fock delle funzioni iperolomorfe della fetta nei casi di Hilbert e Banach. Otteniamo nuovi risultati di approssimazione quaternionica sia nella teoria del primo che nel secondo tipo. Sviluppiamo anche trasformate di Segal-Bargmann nel caso non commutativo dei quaternioni e diamo descrizioni in termini di versioni generalizzate degli operatori di creazione e annichilazione. In particolare, ci occupiamo di un'estensione dello spazio Cholewinski-Fock in questo contesto. Inoltre, sulla base della trasformata di Bargmann quaternionica, introduciamo e studiamo una trasformata di Fourier quaternionica di breve durata QSTFT con una finestra gaussiana che può essere calcolata per segnali ipercomplessi. Nella seconda parte della tesi, introduciamo uno speciale sistema Clifford-Appell che può essere ottenuto utilizzando il teorema di mappatura di Fueter. Studiamo il comportamento di tale sistema di polinomi rispetto al classico prodotto di Cauchy-Kowalevski. Quindi, presentiamo alcuni nuovi QRKHS delle funzioni iperolomorfiche di Fueter basate su questo sistema Clifford-Appell. Studiamo in questo caso diverse tecniche di kernel e trasformate integrali riguardanti gli spazi di Fock, Hardy e Bergman e gli operatori associati. Calcoliamo anche la funzione del kernel di Bergman su diversi domini quaternionici. Infine, nell'ultima parte di questa tesi, introduciamo una nuova teoria delle funzioni polanalitiche nell'analisi ipercomplessa. Si scopre che questa teoria contiene un'interessante sottoclasse di funzioni monogeniche speciali di tipo assiale e dimostriamo una formula poli di Cauchy. Quindi, mettiamo in relazione diverse teorie della funzione polanalitica nell'analisi ipercomplessa fornendo due versioni estese del famoso teorema di mappatura di Fueter-Sce-Qian. Dimostriamo anche una rappresentazione integrale di questo risultato come applicazione diretta della formula poli Cauchy. I risultati ottenuti in questa dissertazione aprono varie questioni e problemi di ricerca da approfondire in futuro, che vengono discussi nell'ultima sezione.