Discretization methods : an application of nearly exact discretization scheme to an economical model

This thesis considers the issue of applying data collected with discrete frequency to continuous time model. This rough approach could lead to misleading dynamics since discrete data are applied to models that consider continuous parameter values. The most direct solution may be to prefer discrete time dynamical systems, however, for some values of model's parameters, they could have different dynamics with respect to continuous time dynamical systems. So it is crucial to develop methods, known as discretization methods, which transform continuous time dynamical systems into discrete ones and also pay particular attention to safeguard the original stability. In the continuation of the thesis, after presenting main characteristics and differences of continuous and discrete time dynamical models, several discretization methods will be presented with a particular attention to Nearly Exact Discretization Scheme (NEDS), a discretization method used for 1-dimensional biological continuous time models. Hereafter, NEDS will be applied to a 2-dimensional economical model, its stability will be discussed. Finally, numerical simulations of the economical model will be performed and moreover we will consider data collected at discrete frequency regarding the price of a chosen commodity and from that, we will calibrate the parameters of continuous and NEDS-discretized models. Lastly we will compare the data trend and the simulations of the continuous and discretized models.

Questa tesi tratta il problema dell'applicazione di dati raccolti con frequenza discreta ad un modello a tempo continuo. Questo approccio superficiale può portare a dinamiche fuorvianti dato che i dati discreti sono applicati ad un modello che considera valori di parametri continui. La soluzione immediata potrebbe essere quella di preferire sistemi dinamici a tempo discreto, tuttavia, per alcuni valori dei parametri del modello, essi possono avere dinamiche differenti rispetto a sistemi dinamici a tempo continuo. É quindi molto importante sviluppare dei metodi, noti come metodi di discretizzazione, che trasformano sistemi dinamici a tempo continuo in a tempo discreto ed inoltre porre particolare attenzione a preservare la stabilità del modello originario. Nel prosieguo della tesi, dopo aver presentato le principali caratteristiche e differenze dei sistemi a tempo continuo e discreto, saranno mostrati anche numerosi metodi di discretizzazione con un particolare focus al Nearly Exact Discretization Scheme (NEDS), un metodo di discretizzazione usato per modelli biologici a tempo continuo con 1 variabile. In seguito, il NEDS verrà applicato ad un modello economico a 2 variabili e la sua stabilità verrà discussa. Infine, verranno mostrate delle simulazioni numeriche del modello economico ed inoltre verranno considerati dei dati raccolti con frequenza discreta riguardanti il prezzo di una commodity precedentemente scelta. Da lì, verranno poi calibrati i parametri del modello continuo e di quello discretizzato con il metodo NEDS. L'ultima analisi sarà la comparazione dell'andamento temporale dei dati con le simulazioni del modello continuo e di quello discretizzato.