Conformal prediction bands for two-dimensional functional time series

Conformal Prediction (CP) is a versatile nonparametric technique used to quantify uncertainty in prediction problems. In this work, we propose an extension of such method to the case of time series of functions defined on a bivariate domain. Given the complex nature of data and the non-trivial dependence structure, we adapt the CP procedure, eventually deriving distribution-free prediction bands and providing performance bounds in terms of unconditional coverage and asymptotic exactness. The advantages of the CP method over the traditional Bootstrap approach are explored on synthetic data in a proper Appendix. Moreover, we extend the theory of autoregressive processes in Hilbert space in order to allow for functions with a bivariate domain. Given the novelty of the subject, we present estimation techniques for the Functional Autoregressive model (FAR) and for principal components analysis (PCA) for two-dimensional functional data. An ad hoc simulation study is implemented in order to investigate finite sample performances of estimators of the functional autoregressive model, comparing them with benchmark forecasting methods. Finally, we explore benefits and limits of the proposed approach on a real case study, employing a dataset from Copernicus Climate Change Service, collecting daily observations of Sea Level Anomalies of the Black Sea in the last twenty years.

La Conformal Prediction (CP) è una versatile tecnica nonparametrica utilizzata per la quantificazione dell'incertezza nei problemi di predizione. In questo lavoro, proporremo un estensione di tale metodo al caso di serie temporali di funzioni definite su un dominio bivariato. Per via dell'alta complessità dei dati e dell'intrinseca dipendenza temporale, adatteremo la classica procedura CP, derivando bande di previsione e quantificando l'efficienza predittiva in termini di copertura incondizionata ed esattezza asintotica. I vantaggi del metodo CP rispetto alla tradizionale tecnica Bootstrap verranno esplorati su dati sintetici in un'apposita appendice. Adatteremo inoltre la teoria dei processi autoregressivi in spazi di Hilbert a funzioni con un dominio bivariato. Data l'innovatiità dell'argomento, proporremo tecniche di stima per il modello Autoregressivo Funzionale (FAR) e due diversi metodi per l'analisi delle componenti principali (PCA) per dati funzionali bidimensionali. Attraverso l'implementazione di uno studio di simulazione, valuteremo le prestazioni a campione finito degli stimatori del modello autoregressivo funzionale, confrontandoli con metodi di previsione di riferimento. Infine, approfondiremo i benefici e i limiti dell'approccio proposto su un reale caso di studio, utilizzando un set di dati del Copernicus Climate Change Service, il quale raccoglie osservazioni giornaliere delle anomalie del livello del mare del Mar Nero negli ultimi venti anni.