A hybrid high order method for magnetostatics

The Hybrid High Order method (HHO) is a discretization method for PDEs designed to support general polyhedral meshes and provide arbitrary approximation order. The method's strength is the great freedom it gives in choosing a discretization of the physical domain. No shape of the elements is imposed, and elements with a different number of faces can coexist in the same mesh. Yet, a stability and convergence analysis can be provided a priori. Moreover, despite an increased complexity, the method shows itself prone to several techniques alleviating the computational burden. After several proofs of performance in the domain of computational mechanics, the latest boundary in HHO development is the numerical analysis of electromagnetism models. Electromagnetic phenomena are fully described by the celebrated Maxwell equations. In stationary conditions the magnetic component is independent, and must respect a linear second order Curl Curl problem. Starting from an original implementation of the HHO method for this problem, several optimization techniques are designed together with an extension to more general boundary conditions. The method performs stable and convergent on a heterogeneous variety of polyhedral meshes.

Il metodo ibrido di ordine superiore (HHO) è uno schema di discretizzazione per EDP atto a supportare generiche griglie politopali, in grado di garantire ordine di accuratezza arbitrario. Il punto di forza del metodo è la grande libertà che consente nella scelta di discretizzazione del dominio. Non richiede che gli elementi abbiano una forma prestabilita, e nella stessa griglia possono convivere elementi con diverso numero di facce. Ciononstante, è possibile condurre a priori un'analisi di stabilità e convergenza. Inoltre, sebbene potenzialmente oneroso computazionalmente, è possibile mettere in campo diverse tecniche di riduzione della complessità del problema. Dopo diverse dimostrazioni di efficacia nel campo della meccanica computazionale, l'ultima frontiera nello sviluppo del metodo è l'analisi numerica di modelli elettromagnetici. I fenomeni elettromagnetici sono descritti dalle celebri equazioni di Maxwell. In condizioni stazionarie la componente magnetica è indipendente, e rispetta un problema lineare del secondo ordine. Partendo da un'implementazione originale del metodo per questo problema, sono state progettate diverse tecniche di ottimizzazione e si è estesa la validità a condizioni al bordo generali.