The Euclidiscrete distance : a new metric for the analysis of network data

Weighted networks are rather complex data objects, so that it is not trivial to extract statistics or summary indices from a population of networks, especially if the nodes of the networks are unlabelled. Proper assumptions on the distribution of the values of the edges, and on the geometry of a so called Graph Space, are needed in order to construct the best explanatory statistics for such framework. In particular, we introduce a new metric with both a discrete and a continuous part, suited for networks having zero valued edges with positive probability. Such metric is the basis of a loss function we introduce, called Euclidiscrete Distance, which for example is minimized by a peculiar network being the Fr´echet Mean of a dataset. We see also that such metric can be reinterpreted to be used for unlabelled networks, providing an opportune graph matching algorithm.

Le reti pesate costituiscono un tipo di dato complesso, per cui non è semplice ricavare determinate statistiche o indici sommativi a partire da una popolazione di reti, specialmente se i nodi delle reti sono sprovvisti di etichetta. Per costruirle, sono necessarie opportune assunzioni sulla distribuzione dei valori degli archi e sulla geometria di un cosiddetto Spazio dei Grafi (Graph Space). In particolare, introdurremo una nuova metrica avente sia una componente discreta, sia una continua, adatta a reti che possiedono archi il cui peso è zero con probabilità positiva. Tale metrica è la base di una funzione di perdita che introdurremo, detta Distanza Euclidiscreta (Euclidiscrete Distance), che per esempio è minimizzata da una particolare rete che è la Media di Fréchet del dataset di reti. Vedremo inoltre che tale metrica può essere applicata anche per reti con nodi senza etichetta, grazie a un opportuno algoritmo di matching.