An investigation on the secondary stability of the Blasius boundary-layer

The physical mechanism which drives a laminar flow to the turbulent regime is extremely complex and not yet completely understood. Considering the aeronautical field, the transition of the boundary-layer has a remarkable influence on the aerodynamic performance of airfoils and lifting surfaces in general. The present work deals with the secondary stability analysis of the Blasius boundary-layer flow, introducing, with respect to the original secondary stability theory proposed by Herbert, the non-parallel and non-linear effects. Mathematically, the problem consists in studying the stability of the Blasius flow forced by a time-periodic Tollmien–Schlichting wave by means of the Floquet theory. An incremental pressure-correction scheme based on the direction-splitting technique is used to integrate the Navier-Stokes equations whereas, for the computation of the three-dimensional secondary modes and the correspondent Floquet multipliers, the implicitly restarted Arnoldi method (IRAM), implemented in the software package ARPACK, is employed. The eigenvalue spectrum is evaluated for three reduced frequencies of the T-S wave, giving particular attention to the influence that the maximum amplitude reached by the primary wave has on the instability behaviour. It is found that the synchronous modes are associated to the largest growth rates among the whole range of spanwise wavenumbers. The subharmonic mode is the most unstable for low and medium amplitudes of the T-S wave while, as the amplitude increases, the fundamental mode, with the same period of the primary wave, becomes the most unstable. For high amplitudes the instability affects a wide range of spanwise wavenumbers and the whole frequency range from the subharmonic to the fundamental one. The results show high qualitative agreement with those provided by Herbert’s formulation and it is found that, due to the inclusion of the non-linear and non-parallel effects in the base flow, the threshold amplitude for the instability is close to that observed in the experiments. A series of DNS simulations is performed to investigate if the computed three-dimensional perturbations lead the Blasius flow to the turbulent regime. The transition simulations show that, after an initial linear stage in which the disturbance evolution is close to what predicted by the stability calculations, the nonlinearity leads to the formation of Λ vortices that drive the boundary-layer flow to transition. The arrangement of these Λ structures is either aligned in rows of staggered, depending on which secondary mode is introduced in the boundary-layer flow. The two observed arrangements of the flow structures correspond to the well known H-type and K-type regimes dominated by the subharmonic or the fundamental mode, respectively. Therefore, the eigenfunctions of the secondary stability eigenvalue problem provide the near-wall vorticity perturbations responsible for the commonly observed natural transition scenarios.

Il meccanismo fisico che provoca il passaggio dal regime laminare a quello turbolento è molto complesso e non ancora compreso appieno. In ambito aeronautico, la transizione dello strato limite ha un’influenza considerevole sulle prestazioni aerodinamiche dei profili alari e delle superfici portanti in generale. Il presente lavoro si occupa della stabilità secondaria del flusso di strato limite di Blasius, introducendo, rispetto alla formulazione originaria della stabilità secondaria introdotta da Herbert, gli effetti di non parallelismo e quelli non lineari. Matematicamente, il problema consiste nello studio della stabilità del flusso di Blasius forzato da un’onda di Tollmien–Schlichting periodica nel tempo che può essere eseguito tramite la teoria di Floquet. Le equazioni di Navier-Stokes sono integrate tramite uno schema di correzione della pressione basato sulla tecnica del direction-splitting mentre per il calcolo dei modi secondari tridimensionali e dei corrispondenti moltiplicatori di Floquet, viene utilizzato il metodo IRAM implementato nel software ARPACK. Lo spettro degli autovalori è valutato per tre valori di frequenza ridotta dell’onda T-S, con particolare riguardo all’influenza che ha l’ampiezza dell’onda primaria sulle caratteristiche dell’instabilità. Si trova che i modi sincroni sono associati ai maggiori tassi di crescita considerando tutto l’intervallo di numeri d’onda nella direzione trasversale. Il modo subarmonico è il più instabile per valori bassi o medi dell’ampiezza dell’onda T-S. Invece, quando si considera un’ampiezza elevata, è il modo fondamentale, con lo stesso periodo temporale dell’onda, ad essere il più instabile. Per alti valori di ampiezza, l’instabilità coinvolge un vasto intervallo di numeri d’onda trasversali e l’intervallo di frequenze che va da quella subarmonica a quella fondamentale. I risultati mostrano un ottimo accordo qualitativo con quelli ottenuti tramite la teoria originale di Herbert anche se l’aggiunta degli effetti di non parallelismo e di non linearità nel flusso base, porta la soglia di ampiezza al quale l’instabilità si sviluppa molto vicino ai dati sperimentali. Viene eseguita una serie di simulazioni DNS per valutare se le perturbazioni tridimensionali calcolate portano il flusso di Blasius al regime turbolento. Le simulazioni numeriche mostrano che, dopo una iniziale fase lineare in cui l’evoluzione dei disturbi è prossima a quanto previsto dai calcoli di stabilità, la non linearità porta alla formazione di vortici Λ che provocano il passaggio al regime turbolento del flusso di strato limite. La disposizione di queste strutture Λ è allineata in file o sfalsata, a seconda di quale modo secondario viene introdotto nel flusso dello strato limite di Blasius. Le due disposizioni di queste strutture corrispondono ai ben noti regimi di tipo H e di tipo K dominati rispettivamente dal modo subarmonico o dal modo fondamentale. Pertanto, le autofunzioni del problema agli autovalori della stabilità secondaria forniscono le perturbazioni di vorticità vicino alla parete responsabili degli scenari di transizione naturale comunemente osservati nelle applicazioni pratiche.