Gaussian quantum Markov semigroups and transport properties in the weak coupling limit

The study of open quantum systems is often associated with the study of Quantum Markov Semigroups (QMSs), namely weak* continuous semigroups of completely positive, identity preserving, normal maps on the set of bounded operators over an Hilbert space. They are associated with a generator which has a normal form called the GKLS form. This depends on an operator H, called the Hamiltonian, that describes the evolution of the system of interest as a closed system, and the set of operators L, called the Kraus' operators, that describe how the environment interferes with the closed evolution of the system. This thesis deals essentially with two types of QMSs. The first one is the class of Gaussian QMSs that models several physical systems involving Bosons. In particular this forces us to deal with unbounded operators and address their domain problems. The Hamiltonian in this case is a quadratic expression of the so called creation and annihilation operators, while the Kraus' operators are a linear expression of the same operators. In this thesis we develop a thorough study of this class of semigroups setting the foundation for future development. As a starter we unify the different definitions of Gaussian QMSs that have emerged in the literature. In particular this involves showing the equivalence between the GKLS form of the generator that we introduced, an explicit formula for the action of the semigroup itself and a qualitative definition of Gaussian QMSs involving preservation of the set of so called Gaussian states. We also studied in depth the one dimensional case, completely classifying irreducibility of the semigroup and existence of an invariant state, based only on the parameters of the GKLS generator. Eventually we started the study also in the multidimensional case, addressing some problems regarding the Decoherence-Free subalgebra. The second model deals with a very specific physical system, namely a chain of Fermions that is linked on both ends to an independent reservoir at fixed temperature. We successfully evaluated the energy transfer through the chain between the two ends which turns out to be approximately proportional to the temperature difference of the reservoirs, as expected from the classical counterpart.

Lo studio di sistemi aperti quantistici è spesso associato con lo studio di Semigruppi Quantistici Markoviani (QMS), ovvero semigruppi continui nella topologia debole*, composti da mappe completamente positive, normali e che preservano l’identità, dagli operatori limitati su uno spazio di Hilbert in sé. Questi sono anche associati con un generatore infinitesimale avente una forma canonica, detta GKLS. Questa dipende da un operatore H, chiamato l’Hamiltoniano, che descrive l’evoluzione del sistema di interesse come se fosse chiuso, e un insieme di operatori L, chiamati gli operatori di Kraus, che descrivono come l’ambiente interferisca nell’evoluzione del sistema chiuso. Questa tesi tratta essenzialmente due tipo di QMS. Il primo è la classe di QMS Gaussiani, che modella diversi sistemi fisici che trattano Bosoni. In particolare questo forza la trattazione di operatori illimitati e dei loro problemi di dominio. L’Hamiltoniano in questo caso è un’espressione quadratica negli operatori di creazione e annichilazione, mentre gli operatori di Kraus sono un’espressione lineare degli stessi operatori. In questa tesi affrontiamo uno studio approfondito di questa classe di semigruppi, preparando le fondamenta per sviluppi futuri. Inizialmente unifichiamo diverse definizioni di QMS Gaussiani che sono emerse in letteratura. In particolare ciò include mostrare l’equivalenza tra la forma GKLS del generatore che abbiamo citato, una formula esplicita per l’azione del semigruppo e una definizione qualitativa per i QMS Gaussiani, riguardante la loro azione sui cosiddetti stati Gaussiani. Dopodiché studiamo in dettaglio il caso unidimensionale, classificando completamente l’irriducibilità del semigruppo e l’esistenza di uno stato invariante, basandoci solamente sui parametri del generatore GKLS. Infine abbiamo cominciato lo studio anche del caso multidimensionale, studiando problemi riguardanti l’algebra priva di Decoerenza. Il secondo modello tratta invece di un sistema fisico specifico, precisamente una catena di Fermioni collegata da entrambi i lati con un reservoir a temperatura fissa. Abbiamo calcolato con successo il l’energia che fluisce nella catena tra le due estremità. Questa risulta essere proporzionale alla differenza di temperatura dei reservoir, come ci si aspetta dalla controparte classica.