Efficient reduced order modeling for nonlinear parameterized problems in elastodynamics : application to cardiac mechanics

In this Thesis we propose new computationally efficient solutions to nonlinear, parameterized time-dependent problems by means of reduced order models (ROMs). More specifically, we propose fast and accurate approximations of elastodynamics problems arising in cardiac mechanics. Being able to perform efficient numerical simulations in this context is indeed essential to explore multiple virtual scenarios, to quantify cardiac outputs and related uncertainties, as well as to evaluate the impact of pathological conditions. All these tasks call for repeated model evaluations over different input parameter values, thus making usual high-fidelity, full order models, such as those based on the finite element method, computationally prohibitive. Alternative numerical methods have been developed aiming to compute reliable solutions to parametric partial differential equations (PDEs) at a greatly reduced computational cost. Among these, the reduced basis (RB) method represents a powerful and widely used technique, characterized by a Galerkin projection of the problem onto a low-dimensional subspace and by a splitting of the reduction procedure into a costly offline phase and an inexpensive online phase. However, in the case of nonlinear problems, the online stage has a cost that still depends on the high-fidelity dimension, as the assembling of the reduced operators requires the reconstruction of the high-fidelity ones. In this Thesis we exploit the RB method, equipped with hyper-reduction techniques for handling the nonlinear terms, for the solution to time-dependent problems arising in cardiac mechanics, where the complex material behavior (the cardiac tissue) is described by means of an exponentially nonlinear constitutive law accounting for the presence of myocardial fibers. Some examples related to the use of hyper-ROMs in the multi-query contexts of sensitivity analysis and parameter estimation are also given. Nonetheless, severe challenges arise from the approximation of the nonlinear terms, usually requiring a large number of basis functions to correctly capture their variability, thus compromising the overall online efficiency of the ROM. To overcome the computational bottleneck of hyper-ROMs, we develop a novel projection-based, deep learning-based, ROM, that we name Deep-HyROMnet. The key idea is to combine the Galerkin-RB approach with deep neural networks (DNNs) to approximate reduced nonlinear operators efficiently. Unlike data-driven strategies, for which the predicted output is not guaranteed to satisfy the underlying PDE, Deep-HyROMnet is a physics-based ROM, as it computes the problem solution by solving a reduced nonlinear system. A further benefit of the proposed method lies on the fact that the inputs given to the DNNs are low-dimensional arrays, so that overwhelming training times and costs can be avoided. We show how our model outperforms classical hyper-ROMs (such as POD-Galerkin-DEIM ROMs exploiting the discrete empirical interpolation method) in terms of computational speed-up for the solution of a wide range of problems in nonlinear elastodynamics, still achieving accurate results. Finally, we demonstrate the performances of Deep-HyROMnet on patient-specific cardiac geometries involving about 127000 structural degrees of freedom, and consider the case of a 3D mechanics model that is monolithically coupled to a 0D windkessel model for blood circulation, to simulate the cardiac functions in both physiological and pathological scenarios.

In questa Tesi proponiamo nuove soluzioni computazionalmente efficienti a problemi non lineari, parametrizzati e tempo-dipendenti mediante l'utilizzo di modelli di ordine ridotto (ROM). Più nello specifico, proponiamo approssimazioni rapide e accurate a problemi di elastodinamica, come quelli presenti nell'ambito della meccanica cardiaca. In questo contesto, essere in grado di eseguire simulazioni numeriche efficienti è infatti essenziale per poter esplorare molteplici scenari virtuali, per calcolare quantità di interesse clinico e quantificarne l'incertezza, nonché per valutare l'impatto di condizioni patologiche. Tutti questi compiti richiedono valutazioni ripetute del modello per diversi valori dei parametri di input, rendendo quindi modelli standard ad alta fedeltà, detti modelli full-order (FOM), come quelli basati sul metodo degli elementi finiti, computazionalmente proibitivi. Metodi numerici alternativi per calcolare soluzioni di equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) parametriche, che siano sufficientemente accurate, ad un costo computazionale notevolmente ridotto, sono stati oggetto di numerose ricerche. Tra questi, il metodo delle basi ridotte (RB) rappresenta una tecnica potente e ampiamente utilizzata, caratterizzata da una proiezione di Galerkin del problema originale su un sottospazio di dimensione piccola e da una scissione della procedura di riduzione in una costosa fase offline ed una fase online economica. Tuttavia, nel caso di problemi non lineari, la fase online ha un costo che dipende ancora dalla dimensione del FOM, in quanto l'assemblaggio degli operatori ridotti richiede la ricostruzione di quelli full-order. In questa Tesi sfruttiamo il metodo RB, dotato di tecniche di iper-riduzione per la gestione dei termini non lineari, per la soluzione di problemi tempo-dipendenti derivanti dalla meccanica cardiaca, dove il comportamento complesso del materiale in esame (il tessuto cardiaco) è descritto mediante una legge costitutiva esponenzialmente non lineare e che tiene conto della presenza di fibre miocardiche. Sono presentati anche alcuni esempi relativi all'uso di ROM iper-ridotti nei contesti di analisi di sensibilità e stima dei parametri. Tuttavia, l'approssimazione dei termini non lineari pone importanti sfide, in quanto è richiesto un gran numero di funzioni di base per cogliere correttamente la loro variabilità, compromettendo così l'efficienza online del ROM. Per superare il collo di bottiglia computazionale dei ROM classici, abbiamo sviluppato un nuovo metodo di riduzione, chiamato Deep-HyROMnet, basato sulla proiezione di Galerkin e sul deep learning. L'idea chiave è quella di combinare l'approccio Galerkin-RB con reti neurali, deep neural networks (DNN), per approssimare gli operatori non lineari ridotti in modo efficiente. A differenza delle strategie basate sui dati, per le quali non è garantito che la soluzione approssimata soddisfi la EDP sottostante, Deep-HyROMnet rappresenta un ROM basato sulla fisica, in quanto la soluzione del problema è calcolata risolvendo il sistema non lineare ridotto. Un ulteriore vantaggio del metodo proposto risiede nel fatto che gli input dati alle DNNs sono vettori o matrici di dimensione ridotta, così da evitare tempi e costi eccessivi per il training delle reti. Tramite esempi numerici, mostriamo come il nostro modello supera i ROM iper-ridotti classici (come modelli ridotti POD-Galerkin-DEIM basati sul metodo di interpolazione empirica discreta) in termini di velocità computazionale per la soluzione di un'ampia gamma di problemi di elastodinamica non lineare, ottenendo risultati comunque accurati. Infine, dimostriamo le prestazioni di Deep-HyROMnet su geometrie cardiache patient-specific, considerando fino a circa 127000 gradi di libertà, e basandoci su un modello di meccanica 3D monoliticamente accoppiato ad un modello 0D windkessel per la circolazione del sangue, simulando le funzioni cardiache in scenari sia fisiologici che patologici.