Shaping the stationary state distribution via state-feedback and the scenario approach

The goal of this work is that of designing a state feedback controller for a discrete time time-invariant linear system, so as to optimize a given cost function while shaping the stationary state distribution to satisfy a probabilistic constraint. Specifically, we consider a system affected by a disturbance described as a strictly stationary stochastic process, and subject to nonconvex probabilistic constraints to its state variables and control inputs. These requirements are synthesized in a chance constrained optimization program, where the optimization variables are the controller parameters. In recent years, a new methodology has been developed to solve this type of problems, which are otherwise very hard to assess. It is called the scenario approach and it has the merit of transforming the chance-constrained problem to a standard problem, more precisely the probabilistic constraints are substituted with a finite number of deterministic constraints corresponding to a certain number of randomly selected realizations of the disturbance. In this way, the computational burden is kept moderate. At the same time, however, the approach is complemented by a solid theory that keeps the approximation under control and provides a quantification of the feasibility of the obtained solution for the original probability constraint. In the present setup, however, the scenario approach alone is not sufficient to make the problem solvable, because it would require realizations of infinite length of the disturbance to reconstruct the stationary state. It is necessary thus to apply a truncation, to make the program feasible, and a tightening on the constraints, to compensate for the approximation introduced. The main contribution of this thesis is to account for all these elements and provide a non-trivial extension of the theory of the scenario approach that applies to the present non-standard setup. In addition to the theoretical part, a numerical example, together with the algorithm to solve it, is presented in the final part of the thesis.

L’obiettivo di questa tesi è realizzare un controllore con feedback di stato per un sistema lineare a tempo discreto e tempo invariante, in modo da ottimizzare una data funzione costo e, allo stesso tempo, rimodellare la distribuzione dello stato stazionario, così da soddisfare un vincolo probabilistico. Più precisamente, consideriamo un sistema affetto da un disturbo definito come un processo stocastico strettamente stazionario, e soggetto a un vincolo probabilistico e non convesso sulle variabili di stato e sull’azione di controllo. Queste richieste sono raccolte in un programma di ottimizzazione soggetto a vincoli probabilistici, in cui le variabili da ottimizzare sono i parametri del controllore. Recentemente è stata sviluppata una nuova metodologia per risolvere questo genere di problemi, altrimenti molto difficili da trattare. Si chiama approccio a scenari e ha il merito di trasformare un problema soggetto a vincoli probabilistici in uno standard. Più precisamente, i vincoli probabilistici sono sostituiti con un numero finito di vincoli deterministici, corrispondenti a un certo numero di realizzazioni del disturbo selezionate casualmente. In questo modo, il carico computazionale è mantenuto limitato. Allo stesso tempo, però, l’approccio è sostenuto da una solida teoria che mantiene l’approssimazione sotto controllo e fornisce una quantificazione, per l’iniziale vincolo probabilistico, dell’attuabilità della soluzione ottenuta. In questa situazione l’approccio a scenari non è sufficiente, da solo, per poter risolvere il problema, in quanto richiederebbe una realizzazione infinitamente lunga del disturbo per ricostruire il processo stazionario. È perciò necessario applicare un troncamento per rendere il programma risolvibile e, per compensare l’approssimazione, deve essere applicato un irrigidimento dei vincoli. Il principale contributo di questa tesi è il tenere in considerazione tutti questi elementi e il fornire un’estensione, non banale, dell’approccio a scenari che si applichi al problema presentato. In aggiunta alla parte teorica, è stato sviluppato un esempio numerico e un algoritmo per risolverlo, presentati nella parte finale della tesi