Sensitivity analysis and applicability domain of the Keplerian map approach and application to distant retrograde orbits design

The effect of a secondary attractor on the dynamics of a spacecraft orbiting around a primary, has been always a challenge to be modeled in an efficient and, at the same time, accurate way. The equations of the Restricted Three Body Problem accomplish this task, but they require to be numerically integrated since they do not have a close form solution. Such numerical integration results to be expensive in terms of computational time when the motion of the probe shall be predicted for a long period. In recent years, the Keplerian Map theory was developed with the purpose of approximating the solution of such equations saving time and with good accuracy, possibly with a (semi-)analytical model. Implemented for the first time by Petrosky and Broucke in 1988, the latest evolution of the theory includes in its mathematical model the eccentric motion of the third body and it is obtained without making assumptions on the mass parameter of the system. The approach was applied to propagate the motion of a body in different scenarios, as in the Jovian system or for a Near Earth Asteroid. However, it is still not clear when it is possible or not to approximate the trajectory with good accuracy. In order to know a priori if the Keplerian Map approach can be used without introducing a significant error on the motion prediction, there is the necessity to identify an applicability domain. This region can be identified through a comparison with the solution obtained with the numerical integration of the three-body problem equations. The aim of this thesis is to determine the Keplerian Map applicability domain. Such purpose is achieved with a sensitivity analysis in which the initial conditions of the spacecraft are made to vary and then propagated. This procedure is performed many times comparing the results with the solution of the three-body problem through a relative percentage error. The output of this analysis are different plots in which the error value is reported in function of some system parameters. By reading these maps graphically, scenarios in which the theory can be applied are recognised. Finally, after that an applicability domain is defined, the theory is applied to design direct retrograde orbits with the exploitation of an optimisation process, highlighting the advantages in doing that with the Keplerian Map approach. This thesis project is part of the project COMPASS "Control for Orbit manoeuvring through perturbations for application to space systems". The COMPASS project has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union's Horizon 2020 research and innovation programme (grant agreement No 679086 - COMPASS).

Modellare in modo efficace e allo stesso tempo accurato l'effetto di un secondo corpo sulla dinamica di uno spacecraft che sta orbitando attorno ad un attrattore primario, è stata da sempre una sfida. Le equazioni del problema dei tre corpi ristretto riescono in ciò, ma richiedono di essere integrate numericamente, non avendo una soluzione in forma chiusa. Questa integrazione numerica risulta essere dispendiosa in termini di tempo computazionale quando il moto del satellite deve essere predetto per un lungo periodo. Negli ultimi anni, la teoria della Keplerian Map è stata sviluppata con l'intenzione di approssimare con buona accuratezza la soluzione di queste equazioni in modo da risparmiare tempo nell'integrazione, essendo un modello (semi-)analitico. Implementata per la prima volta da Petrosky e Broucke nel 1988, l'ultima evoluzione della teoria include nel suo modello matematico il moto eccentrico del terzo corpo, ed è ottenuta senza fare assunzioni sul parametro di massa del sistema. Questo approccio è stato utilizzato per propagare il moto di un corpo in diversi scenari, come nel sistema Gioviano o per un asteroide vicino alla Terra. Ad ogni modo, non è ancora chiaro quando è possibile o no approssimare la traiettiera con buona accuratezza. In modo tale da sapere a priori se la Keplerian Map può essere utilizzata senza introdurre errori significanti, c'è la necessità di identificare un suo dominio di applicabilità. Questa regione può essere trovata comparando i risultati con quelli numerici proposti dal problema dei tre corpi. L'obiettivo di questa tesi è di determinare il dominio di applicabilità della Keplerian Map. Tale scopo è raggiunto tramite un'analisi di sensibilità nel quale le condizioni iniziali della particella sono fatte variare e poi propagate. Questa procedura è effettuata molte volte, comparando i risultati con quelli del problema dei tre corpi tramite un errore relativo. L'output sono diversi grafici nei quali è riportato il valore dell'errore in funzione di alcuni parametri del sistema, dai quali è possibile identificare quando le soluzioni convergono. Infine, dopo che un dominio di applicabilità è stato definito, la teoria viene applicata per progettare orbite retrogradi distanti, sfruttando un processo di ottimizzazione ed evidenziando i vantaggi nel fare ciò con la Keplerian Map. Questo lavoro di tesi è parte del progetto COMPASS "Control for Orbit manoeuvring through perturbations for application to space systems". Il progetto COMPASS ha ricevuto fondi dall'European Research Council (ERC) per il programma di ricerca e innovazione dell'European Union's Horizon 2020 (accordo di sovvenzione No 679086 - COMPASS).