Stability in nonlinear models for suspension bridges

In this thesis the stability of some different models for suspension bridges is studied. In particular, the main concern of this research is the distribution of the energy among the fundamental vibrations of the structures considered. Our work is motivated by the fact that many bridges suffered unexpected oscillations, sometimes leading to collapses, under moderate external stimulation due to the wind or the crowd load. The most famous example of such phenomena, both because of the intriguing video testimony and because of the huge interest it generated among engineers and mathematicians, is represented by the failure of the Tacoma Narrow Bridge, occurred in 1940. So far, the scientific community has not given a unanimous explanation of such accidents, also because of the large variety of different physical phenomena involved in the dynamics of suspension bridges, including both external forces and internal structural interactions. In this work, we analyze some of these factors. We introduce an abstract nonlinear nonlocal evolution equation modeling the dynamics of real-world structures subjected to an external load. This model turns out to be suitable to describe plates undergoing large deflections and suspension bridges with multiple intermediate piers. Some rigorous finite-dimensional approximations of the problem are studied. More precisely, we prove that our equation may be asymptotically approximated by a finite-dimensional system of ordinary differential equations under rather general hypotheses on the external load. In the case of antiperiodic in time forcing terms, we refine our results and we exploit them to analyze the distribution of the energy among the longitudinal fundamental modes of a suspension bridge as the position of the piers varies. We show that, according to the model considered, asymmetric suspension bridges appear to be more stable than suspension bridges with piers symmetric with respect to the center of the deck. In order to analyze the appearance of the torsional motion in suspension bridges, we examine a degenerate plate model also described by two coupled nonlinear nonlocal evolution equations. This system represents the interaction between longitudinal and torsional motions generated by the presence of the sustaining cables under the hypothesis of rigid hangers. The action of the wind along the deck of the bridge is not considered as an explicit external force. Instead, in order to focus on the role of the structural nonlinearities, the aerodynamic contribution to the dynamics is introduced through the initial conditions. Since we are interested in the torsional motion triggered by the internal resonances of the bridge, we consider the linearization of the model in a neighbourhood of a purely longitudinal motion. The mathematical analysis of these equations strongly depends on the boundary conditions. First, we study the case with boundary conditions describing a partially hinged plate model and we use some classical methods for the stability of the Hill equation to our problem. Next, we consider partially clamped boundary conditions and we employ a KAM reducibility scheme to study the stability of this system. In both cases, the torsional dynamics is proven to be stable for a large measure set of longitudinal initial data. Further developments may follow from this thesis. Our study of asymptotic approximations of plate models undergoing an external load, though easily generalizable to large families of nonlinearities, does not cover the cases involving nonlinear nonlocal damping terms. Moreover, our analysis of the torsional stability of degenerate plates does not apply to suspension bridges with multiple intermediate piers because of the presence of weaker second order Melnikov's conditions in this case. Therefore, the extension of our results to more general models represents a concrete challenge, to which future works might be devoted.

In questa tesi viene studiata la stabilità di alcuni modelli impiegati nello studio dei ponti sospesi. In particolare, il principale oggetto di questa ricerca è la distribuzione dell'energia tra i modi fondamentali di oscillazione della struttura considerata. La motivazione del nostro lavoro nasce dal fatto che molti ponti hanno mostrato, sotto la sollecitazione anche moderata del vento o del passaggio di pedoni, oscillazioni incontrollate e inaspettate, che talvolta hanno condotto al crollo della struttura. Il più celebre esempio di tale fenomeno, tanto per il grande interesse suscitato nella comunità matematica e ingegneristica quanto per le affascinante testimonianze video rimasteci, è rappresentato dal crollo del Tacoma Narrow Bridge, avvenuto nel 1940. Finora, la comunità scientifica non ha ancora dato una spiegazione unanime di tale incidente, anche a causa della grande quantità di diversi fenomeni fisici coinvolti nella dinamica di un ponte sospeso, che includono sia forze esterne che interazioni interne al ponte tra le sue diverse componenti strutturali. Si introduce una equazione nonlineare nonlocale astratta atta a modellare la dinamica di strutture del mondo reale soggette ad un carico esterno. Questo modello si rivela adatto a descrivere piastre sottoposte a grandi deformazioni e ponti sospesi con più pilastri di sostegno. Alcune rigorose approssimazioni finito-dimensionali vengono quindi studiate. Più nel dettaglio, dimostriamo, sotto ipotesi piuttosto generali sul termine forzante, che la nostra equazione viene asintoticamente approssimata da un sistema finito-dimensionale di equazioni differenziali ordinarie. Nel caso in cui il termine forzante abbia un comportamento antiperiodico nel tempo, i risultati precedentemente ottenuti vengono rifiniti ed impiegati per analizzare la distribuzione dell'energia tra i modi fondamentali di oscillazione longitudinale di un ponte sospeso al variare della posizione dei pilastri. Si mostra che, secondo il modello considerato, ponti sospesi asimmetrici risultano più stabili di ponti sospesi dove i pilastri sono disposti simmetricamente rispetto al centro della struttura. Al fine di analizzare l'insorgere di una dinamica torsionale nei ponti sospesi abbiamo esaminato un modello di piastra rettangolare degenere descritto da due equazioni di evoluzione nonlineari nonlocali accoppiate. Tale sistema modellizza l'interazione tra dinamica longitudinale e torsionale generata dalla presenza dei cavi di sostegno sotto l'ipotesi di tiranti rigidi. La azione del vento lungo la struttura del ponte non è considerata come una forzante esterna esplicita e, al fine di concentrarsi sul ruolo giocato dalle nonlinearità strutturali, il contributo aerodinamico è introdotto per mezzo delle condizioni iniziali. Poiché siamo interessanti nella dinamica torsionale innescata dalle risonanze interne al ponte, esaminiamo la linearizzazione del modello nell'intorno di una dinamica puramente longitudinale. L'analisi matematica delle equazioni così ottenute dipende fortemente dalle condizioni al contorno. Anzitutto, studiamo il caso con condizioni a contorno associate ad una piastra incernierata su due lati e andiamo ad applicare in questo contesto metodi classici sviluppati per lo studio della stabilità dell'equazione di Hill. Successivamente, andiamo a considerare le condizioni al contorno associate ad una piastra bloccata su due lati e impieghiamo uno schema di riducibilità KAM per lo studio della stabilità del sistema. In entrambi i casi, si dimostra che la dinamica torsionale è stabile per un insieme di dati iniziali puramente longitudinali appartenenti ad un insieme di misura grande. Ulteriori sviluppi potrebbero seguire da questa tesi. Il nostro studio dell'approssimazione asintotica di modelli di piastra sottoposti ad un carico esterno, sebbene facilmente generalizzabile a ampie famiglie di nonlinearità, non copre i casi in cui sono coinvolti anche termini dissipativi nonlineari nonlocali. Oltretutto, la nostra analisi della dinamica torsionale non si applica a ponti sospesi con più pilastri a causa della presenza in questo caso di condizioni di Melnikov del secondo ordine più deboli rispetto a quelle considerato in questo lavoro. Per queste ragioni, l'estensione dei risultati a modelli più generali rappresenta una sfida concreta, a cui altri lavori potranno essere dedicati in futuro.