Spaces of entire functions, sampling theorems and applications

Sampling theory is the study of spaces of continuous functions that can be exactly rebuilt from samples taken on a discrete set of points, and has a great number of practical applications in communication engineering and signal processing. The most important function spaces connected to the classical sampling theory are the Paley-Wiener spaces, which are spaces of bandlimited functions that have many properties very useful for sampling. The bandlimited functions can generally be rebuilt from samples taken on a sequence of equidistant points. In real applications, a signal effective bandwidth can vary in time. Adjusting the sampling rate accordingly should improve the sampling efficiency and information storage. While this old idea has been pursued in numerous publications, some fundamental problems are not fully solved yet. The most important regards how to take samples on non-uniform intervals or at a time-varying rate preserving the possibility to perfectly and stably reconstruct the signal. In this work we introduce new properties and new sampling formulas for some spaces of entire functions, namely the de Branges spaces and the Paley-Wiener spaces, based on non-uniform sampling sets strongly different from these of classical results, and we study their applications to signal processing. Then we study new spaces of entire functions that generalize the classical Paley-Wiener spaces, in particular the time-varying bandlimit spaces, recently introduced by Kempf and Martin. We analyze the classes of operators connected to these spaces and we investigate the connections between these spaces and the de Branges spaces. Moreover we introduce a new class of time-varying bandlimit spaces, which are unitarily isomorphic to the Kempf-Martin spaces, but with some different important properties, that make them more controllable and interpretable. Finally we study the relation between the de Branges spaces and the solution of the inverse problem of a canonical systems, which is strongly connected to the properties of these spaces.

La teoria del campionamento è lo studio degli spazi di funzioni continue che possono essere ricostruiti esattamente con un campionamento effettuato su un insieme discreto di punti, e ha un gran numero di applicazioni pratiche nell'ingegneria delle comunicazioni e nell'elaborazione dei segnali. Gli spazi di funzioni più importanti legati alla teoria classica del campionamento sono gli spazi di Paley-Wiener, che sono spazi di funzioni a banda limitata che hanno molte proprietà utili per il campionamento. Le funzioni a banda limitata possono essere generalmente ricostruite da campioni prelevati su una sequenza di punti equidistanti. Nelle applicazioni reali, la larghezza di banda effettiva del segnale può variare nel tempo. La regolazione della frequenza di campionamento di conseguenza dovrebbe migliorare l'efficienza del campionamento e la memorizzazione delle informazioni. Sebbene questa vecchia idea sia stata perseguita in numerose pubblicazioni, alcuni problemi fondamentali non sono ancora del tutto risolti. Il più importante riguarda come prelevare campioni ad intervalli non uniformi o a cadenza variabile nel tempo preservando la possibilità di ricostruire perfettamente e stabilmente il segnale. In questo lavoro introduciamo nuove proprietà e nuove formule di campionamento per alcuni spazi di funzioni intere, ovvero gli spazi di de Branges e gli spazi di Paley-Wiener, basati su insiemi di campionamento non uniformi fortemente differenti da quelli dei risultati classici, e ne studiamo le applicazioni relative all'elaborazione dei segnali. Inoltre studiamo nuovi spazi di funzioni intere che generalizzano gli spazi classici di Paley-Wiener, in particolare gli spazi a banda limitata variabile nel tempo, recentemente introdotti da Kempf e Martin. Analizziamo le classi di operatori connesse a questi spazi e indaghiamo le connessioni tra questi spazi e gli spazi di de Branges. Inoltre introduciamo una nuova classe di spazi a banda limitata variabile nel tempo, che sono unitariamente isomorfi agli spazi di Kempf-Martin, ma con alcune importanti proprietà differenti, che li rendono più controllabili e interpretabili. Infine studiamo la relazione tra gli spazi di de Branges e la soluzione al problema inverso di un sistema canonico, che è fortemente connesso alle proprietà di questi spazi.