Nonlinear Parabolic Differential Equations: global existence and blow-up of solutions

The main topic of this thesis concerns the study of global existence and blow-up of solutions to certain nonlinear parabolic differential equations. The thesis is divided into three parts where three different equations are considered. In Part I, we analyze the Cauchy problem for the porous medium equation with a variable density, which depends on the space variable, and a power-like reaction term: this is a mathematical model of a thermal evolution of a heated plasma. Depending on the rate of decaying at infinity of the density function, by comparison method and suitable sub- and supersolutions, we determine whether the solution exists globally in time or blows up in finite time. In Part II, we consider reaction-diffusion equations posed on complete, noncompact, Riemannian manifolds of infinite volume. Such equations contain power-type nonlinearity and slow diffusion of the porous medium type. For the Cauchy problem related to this equation we prove global existence for positive initial data belonging to suitable $L^p$ spaces, and that solutions corresponding to such data are bounded at all positive times with a quantitative bound on their L$^infty$ norm. The methods of proof are functional analytic in character, as they depend solely on the validity of the Sobolev and the Poincar'{e} inequalities. In Part III, we are concerned with nonexistence results for a class of quasilinear parabolic differential equations with a potential in bounded domains. In particular, we investigate how the behavior of the potential near the boundary of the domain and the power nonlinearity affect the nonexistence of solutions.

L'argomento principale della tesi è lo studio dell'esistenza globale e del blow-up di soluzioni ad alcune equazioni differenziali paraboliche nonlineari. La tesi è suddivisa in tre parti in ciascuna delle quali si prende in considerazione una diversa equazione. Nella Parte I, viene analizzato un problema di Cauchy per una equazione dei mezzi porosi con densit'a variabile che dipende solo dallo spazio, e un termine di diffusione del tipo potenza: questa equazione rappresenta un modello matematico per l'evoluzione della temperatura del plasma. Utilizzando metodi di sotto- e soprasoluzioni, grazie anche al principio del confronto, si determina quando la soluzione del problema esiste globalmente in tempo e quando invece avviene blow-up in tempo finito. Nella seconda parte, Part II, si studia una classe di equazioni di reazione-diffusione definita su varietà Riemanniane complete, noncompatte e di volume infinito. Queste equazioni contengono nonlinearity di tipo potenza e una diffusione lenta del tipo mezzi porosi. Per il problema di Cauchy relativo a queste equazioni, si dimostra esistenza globale in tempo delle soluzioni per dati iniziali positivi e che siano appartenenti ad opportuni spazi $L^p$. Inoltre, per queste soluzioni, si dimostra che esse sono limitate per tutti i tempi e si propone una stima quantitativa sulla loro norma $L^{infty}$. I metodi utilizzati per le dimostrazioni sono funzionali e si basano principalmente sulla validità delle disuguaglianze di Sobolev e Poincaré. Infine, nella Part III, si studia la nonesistenza di soluzioni per una classe di equazioni differenziali paraboliche quasilineari con un potenziale, definite in domini limitati. In particolare, si mostra come il comportamento del potenziale vicino alla frontiera del dominio e la nonlinearity di tipo potenza influenzano la nonesistenza delle soluzioni.