Concentration phenomena for some spectral optimization problems

We study the behavior of the principal positive eigenvalue of the Laplace operator in a domain Ω with indefinite bang-bang weights, in the singular asymptotic regime of weights with vanishing positive part. It is known that in the context of the heterogeneous Fisher-KPP model in population dynamics, the support of the positive part of the weigh represents a favourable region for the population, and vice-versa for the negative part. In the asymptotic regime, the favourable region concentrates at some point of Ω. The main questions we address are the shape and positioning of the favourable set. We study qualitatively the shape via blow-up techniques inspired by Mazzoleni-Pellacci-Verzini. We are able to prove that, asymptotically, the favourable region is connected and its boundary is squeezed between two concentric spheres of collapsing radii. Namely, the shape of the favourable region is asymptotically a ball. The study of the positioning is more delicate. Due to a boundary effect, there is an interplay between the shape and the position of the favourable region. This implies that to obtain (sharp) results on the positioning, (sharp) quantitative estimates on the spherical asymmetry of the favourable region are needed. To tackle this problem, we combine projection and vanishing viscosity techniques developed by Ni-Wei with non-sharp quantitative isocapacitary estimates by Fusco-Maggi-Pratelli. Doing so, we are able to obtain a non-sharp result on the positioning of the concentration points, which bounds from below their distance from ∂Ω. To get acquainted with the general problem, we carry out a preliminary analysis of the case in which the favourable regions are assumed a priori to be spherical. This work led to [13]. In such simpler case, exploiting analogous techniques, we are able to obtain that the positioning happens at a point at maximum distance from ∂Ω.

Questo lavoro concerne lo studio del primo autovalore positivo dell’operatore di Laplace in un dominio Ω con pesi indefiniti, nel regime asintotico singolare di pesi con parte positiva trascurabile. E’ noto che nel contesto del modello eterogeneo di Fisher-KPP, celebre nell’ambito della dinamica delle popolazioni, il supporto della parte positiva del peso rappresenta una regione favorevole per la popolazione, viceversa per la parte negativa. Nel regime asintotico, la regione favorevole si concentra in un punto di Ω. Le principali domande che affrontiamo sono la forma ed il posizionamento dell’insieme favorevole. Studiamo qualitativamente la forma attraverso delle tecniche di blow-up, ispirandoci al lavoro di Mazzoleni-Pellacci-Verzini. Dimostriamo che, asintoticamente, la regione favorevole è connessa e la sua frontiera è delimitata da due sfere concentriche con differenza tra i raggi infinitesima. In breve, la forma asintotica dell’insieme favorevole è una palla. Lo studio del posizionamento risulta più delicato. A causa di un effetto di bordo, posizionamento e forma dell’insieme favorevole si influenzano mutuamente. Ciò implica che per ottenere risultati (fini) sul posizionamento. sono necessarie stime quantitative (fini) sull’asimmetria sferica dell’insieme favorevole. Per affrontare questo problema, combiniamo delle tecniche di proiezione e viscosità infinitesima sviluppate da Ni-Wei con stime isocapacitarie non fini sviluppate da Fusco-Maggi-Pratelli. In tal modo, dimostriamo un risultato non fine sul posizionamento dei punti di concentrazione, che limita dal basso la loro distanza da ∂Ω. L’analisi del problema generale è anticipata da uno studio preliminare in cui si assume a priori che le regioni favorevoli sono sferiche. Da questo lavoro è stato tratto [13]. In tal caso, dimostriamo il posizionamento in un punto che realizza la massima distanza da ∂Ω.