In this dissertation we present extensions of the short time Fourier transform in the quaternionic and Clifford settings and we introduce and study the properties of new functional calculi based on the S-spectrum. In recent years there has been a growing interest to generalize integral transforms in the noncommutative setting. This gives the opportunity to deal with n-dimensional signals. The integral transforms have several applications in mathematical physics, precisely in signal processing, optics and time frequency analysis. In the first part of the thesis we focus on the Bargmann and short time Fourier transforms in the slice hyperholomorphic and monogenic settings. Precisely, we study peculiar short time Fourier transforms with window functions the Gaussian and the weighted Hermite. The constructions are based on the slice hyperholomorphic Bargmann transform and the slice polyanalytic Bargmann transform, which main properties are investigated in this thesis. Moreover we focus on a short time Fourier transform, in the monogenic Clifford algebra, setting with a generic radial window function. In the second part of the thesis we introduce new functional calculi based on the S-spectrum and the Fueter-Sce theorem. By using its integral version we define the F-functional calculus for n-tuples of commuting operators. This generates a monogenic functional calculus in the spirit of McIntosh and collaborators. The other functional calculi that we get are based on the factorization of the Fueter map, namely the Laplace operator in four real variables, in terms of the Fueter operator. The functional calculi obtained are harmonic and polyanalytic of order 2. In this thesis we focus on studying the main properties of these functional calculi, such as the respective resolvent equations, the Riesz projectors and the basic algebraic rules. In the third part, we introduce functional calculi on the S-spectrum based on the factorization of the Fueter-Sce map, a suitable power of the Laplace operator in n+1 variables. This suggests the introduction of new classes of functions that we plan to study more in forthcoming papers. Finally, in the last section we give an overview on possible open questions left open by this dissertation.

In questa dissertazione presentiamo delle possibili estensioni della short-time Fourier transform nell’algebra dei quaternioni e in quelle di Clifford, inoltre, introduciamo e studiamo le proprietà di alcuni calcoli funzionali basati sul S-spectrum. Negli ultimi anni c’è stato un interesse crescente nella generalizzazione di trasformate integrali in ambito non commutativo. Questo dà la possibilità di considerare segnali n-dimensionali. Le trasformate integrali hanno molte implicazioni in Fisica matematica, precisamente in teoria dei segnali, ottica e analisi-tempo frequenza. Nella prima parte della tesi ci focalizziamo sulla trasformata di Bargmann e sulla short-time Fourier transform sia in ambito monogenico che slice iperolomorfo. Precisamente, studiamo delle short-time Fourier transform con funzioni finestre le gaussiane e le funzioni di Hermite pesate. Le costruzioni sono basate sulla trasformata di Bargmann slice iperolomorfa e la trasformata di Bargmann polianalitica, le cui principali proprietà sono investigate in questa tesi. Inoltre, ci focalizziamo sulla short-time Fourier transform in ambito Clifford monogenico, con funzione finestra una generica funzione radiale. Nella seconda parte di questa tesi introduciamo nuovi calcoli funzionali basati sul S-spectrum e il teorema di Fueter-Sce. Usando la sua versione integrale definiamo il calcolo funzionale F per n-tulpes di operatori commutanti. Questo tipo di calcolo genera un calcolo monogenico nello stesso spirito di McIntosh e collaboratori. Gli altri calcoli funzionali ottenuti sono basati sulla fattorizzazione della mappa di Fueter, cioè l’operatore di Laplace in quattro variabili reali, in termini dell’operatore di Fueter. I calcoli funzionali ottenuti sono di tipo armonico e polianalitico di ordine 2. In questa tesi ci focalizziamo nello studiare le principali proprietà di questi calcoli funzionali, come le rispettive equazioni risolventi, i proiettori di Riesz e alcune proprietà algebriche di base. Nella terza parte introduciamo calcoli funzionali basati sul S-spectrum e sulla fattorizzazione della mappa di Fueter-Sce, che è definita come l’ adeguata potenza dell’operatore di Laplace in n+1 variabili. Questo suggerisce l’introduzione di nuove classi di funzioni che pensiamo di studiare più in dettaglio in avvenire. Infine, nell’ultima sezione forniamo un riassunto di possibili problemi lasciati aperti da questa dissertazione.

Integral transforms and operator theory in hypercomplex analysis

De Martino, Antonino
2022/2023

Abstract

In this dissertation we present extensions of the short time Fourier transform in the quaternionic and Clifford settings and we introduce and study the properties of new functional calculi based on the S-spectrum. In recent years there has been a growing interest to generalize integral transforms in the noncommutative setting. This gives the opportunity to deal with n-dimensional signals. The integral transforms have several applications in mathematical physics, precisely in signal processing, optics and time frequency analysis. In the first part of the thesis we focus on the Bargmann and short time Fourier transforms in the slice hyperholomorphic and monogenic settings. Precisely, we study peculiar short time Fourier transforms with window functions the Gaussian and the weighted Hermite. The constructions are based on the slice hyperholomorphic Bargmann transform and the slice polyanalytic Bargmann transform, which main properties are investigated in this thesis. Moreover we focus on a short time Fourier transform, in the monogenic Clifford algebra, setting with a generic radial window function. In the second part of the thesis we introduce new functional calculi based on the S-spectrum and the Fueter-Sce theorem. By using its integral version we define the F-functional calculus for n-tuples of commuting operators. This generates a monogenic functional calculus in the spirit of McIntosh and collaborators. The other functional calculi that we get are based on the factorization of the Fueter map, namely the Laplace operator in four real variables, in terms of the Fueter operator. The functional calculi obtained are harmonic and polyanalytic of order 2. In this thesis we focus on studying the main properties of these functional calculi, such as the respective resolvent equations, the Riesz projectors and the basic algebraic rules. In the third part, we introduce functional calculi on the S-spectrum based on the factorization of the Fueter-Sce map, a suitable power of the Laplace operator in n+1 variables. This suggests the introduction of new classes of functions that we plan to study more in forthcoming papers. Finally, in the last section we give an overview on possible open questions left open by this dissertation.
CORREGGI, MICHELE
MARCHINI, ELSA MARIA
12-dic-2022
Integral transforms and operator theory in hypercomplex analysis
In questa dissertazione presentiamo delle possibili estensioni della short-time Fourier transform nell’algebra dei quaternioni e in quelle di Clifford, inoltre, introduciamo e studiamo le proprietà di alcuni calcoli funzionali basati sul S-spectrum. Negli ultimi anni c’è stato un interesse crescente nella generalizzazione di trasformate integrali in ambito non commutativo. Questo dà la possibilità di considerare segnali n-dimensionali. Le trasformate integrali hanno molte implicazioni in Fisica matematica, precisamente in teoria dei segnali, ottica e analisi-tempo frequenza. Nella prima parte della tesi ci focalizziamo sulla trasformata di Bargmann e sulla short-time Fourier transform sia in ambito monogenico che slice iperolomorfo. Precisamente, studiamo delle short-time Fourier transform con funzioni finestre le gaussiane e le funzioni di Hermite pesate. Le costruzioni sono basate sulla trasformata di Bargmann slice iperolomorfa e la trasformata di Bargmann polianalitica, le cui principali proprietà sono investigate in questa tesi. Inoltre, ci focalizziamo sulla short-time Fourier transform in ambito Clifford monogenico, con funzione finestra una generica funzione radiale. Nella seconda parte di questa tesi introduciamo nuovi calcoli funzionali basati sul S-spectrum e il teorema di Fueter-Sce. Usando la sua versione integrale definiamo il calcolo funzionale F per n-tulpes di operatori commutanti. Questo tipo di calcolo genera un calcolo monogenico nello stesso spirito di McIntosh e collaboratori. Gli altri calcoli funzionali ottenuti sono basati sulla fattorizzazione della mappa di Fueter, cioè l’operatore di Laplace in quattro variabili reali, in termini dell’operatore di Fueter. I calcoli funzionali ottenuti sono di tipo armonico e polianalitico di ordine 2. In questa tesi ci focalizziamo nello studiare le principali proprietà di questi calcoli funzionali, come le rispettive equazioni risolventi, i proiettori di Riesz e alcune proprietà algebriche di base. Nella terza parte introduciamo calcoli funzionali basati sul S-spectrum e sulla fattorizzazione della mappa di Fueter-Sce, che è definita come l’ adeguata potenza dell’operatore di Laplace in n+1 variabili. Questo suggerisce l’introduzione di nuove classi di funzioni che pensiamo di studiare più in dettaglio in avvenire. Infine, nell’ultima sezione forniamo un riassunto di possibili problemi lasciati aperti da questa dissertazione.
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