Machine learning-enhanced refinement and agglomeration algorithms for polytopal finite element methods

Many geophysical and engineering applications, such as fluid-structure interaction, crack and wave propagation problems, and flow in fractured porous media, are characterized by a strong complexity of the physical domain, possibly involving thousands of fractures, heterogeneous media, moving geometries and complex topographies. Whenever "classical" Finite Element Methods (FEMs) are employed to discretize the underlying differential model, the process of generating and handling the computational mesh can be the bottleneck of the whole simulation, as computational grids can be composed only of tetrahedral, hexahedral, or prismatic elements. To overcome this limitation, many numerical methods that support computational meshes composed of general polygonal and polyhedral (polytopal, for short) elements have been developed in the last decade, such as for example the Virtual Element Method (VEM), the Polytopal Discontinuous Galerkin method (PolyDG), the mimetic finite differences method, the hybridizable discontinuous Galerkin method and the Hybrid High-Order method. However, since elements may have any shape, there are no well-established strategies to efficiently handle polytopal mesh refinement, i.e., partitioning mesh elements into smaller elements to produce a finer grid, and agglomeration, i.e., merging mesh elements to obtain coarser grids. Refinement is used to adaptively construct the grid in order to improve the accuracy of the solution, while agglomeration is used to reduce the number of degrees of freedom or in combination with multigrid solvers, which exploit a hierarchy of grids with different resolutions to accelerate the convergence of iterative algebraic algorithms. In order to perform these operations effectively, it is therefore extremely important to preserve the geometrical structure and quality of the initial grid, at a low computational cost. In this thesis, we propose to use Machine Learning (ML) based strategies to tackle the open problems of performing effectively mesh refinement and agglomeration. In two dimensions, we develop new strategies to handle polygonal grids refinement based on Convolutional Neural Networks (CNNs). We show that CNNs can be successfully employed to identify the "shape" of a polygonal element correctly so that ad-hoc refinement criteria can be applied. In this way, CNNs can be used to enhance existing refinement strategies, at a low online computational cost. In three dimensions, we extend the two-dimensional framework for mesh refinement, combining CNNs also with the k-means clustering algorithm, to partition the points of the polyhedron to be refined, in order to make the approach more robust with respect to unstructured grids. In order to deal with the agglomeration of polygonal grids, we propose the use of Graph Neural Networks (GNNs) to partition the connectivity graph of mesh elements. GNNs can naturally and effectively process both the graph and the geometrical information, featuring strong generalisation capabilities and fast inference. The effectiveness of the proposed strategies is demonstrated in terms of quality metrics, mesh complexity, computational cost and performance when applied to VEMs, PolyDG methods and multigrid solvers. Finally, as a complementary contribution to this work, we explore the use Variational Physics-Informed Neural Networks (VPINNs) to directly solve the one-dimensional Helmholtz impedance problem, which is a mesh-less approach.

Molte applicazioni geofisiche e ingegneristiche, come problemi d'interazione fluido-struttura, di propagazione di fessure e onde o di flusso di un fluido in mezzi porosi fratturati, sono caratterizzate da una forte complessità del dominio fisico, che può coinvolgere migliaia di fratture, mezzi eterogenei, geometrie mobili e topografie complesse. Ogni volta che si utilizzano approcci classici basati sugli elementi finiti per discretizzare il modello differenziale sottostante, il processo di generazione e gestione della griglia di calcolo può essere il collo di bottiglia dell'intera simulazione, poiché tali mesh possono essere composte solo da elementi tetraedrici, esaedrici o prismatici. Per ovviare a questa limitazione, nell'ultimo decennio sono stati sviluppati molti metodi numerici che supportano griglie computazionali composte da elementi poligonali e poliedrici generici (abbreviato politopali), come il metodo degli Elementi Virtuali Politopali, il metodo di Galekin Discontinuo per griglie Politopali, il metodo delle differenze finite mimetiche, il metodo di Galerkin discontinuo ibridizzabile e il metodo Ibrido di Alto Ordine. Tuttavia, poiché gli elementi possono avere qualsiasi forma, non esistono strategie consolidate per gestire in modo efficiente il raffinamento delle mesh poliedriche, ossia la suddivisione degli elementi della griglia in elementi più piccoli per produrre una mesh più fine, e agglomerazione, ossia l'unione degli elementi della griglia per ottenere una mesh più lasca. Il raffinamento viene utilizzato per costruire in modo adattivo la griglia al fine di migliorare l'accuratezza della soluzione, mentre l'agglomerazione viene utilizzata per ridurre il numero di gradi di libertà o in combinazione con i solutori multi-griglia, che sfruttano una gerarchia di mesh con risoluzioni diverse per accelerare la convergenza di algoritmi algebrici iterativi. Per eseguire queste operazioni in modo efficace è quindi estremamente importante preservare la struttura geometrica e la qualità della griglia iniziale, ad un basso costo computazionale. In questa tesi proponiamo di utilizzare strategie basate sull'Apprendimento Automatico per affrontare i problemi aperti di eseguire efficacemente il raffinamento e l'agglomerazione delle griglie. In due dimensioni, sviluppiamo nuove strategie per gestire il raffinamento delle mesh poligonali basate su Reti Neurali Convoluzionali. Dimostriamo che le Reti Neurali Convoluzionali possono essere impiegate con successo per identificare correttamente la "forma" di un elemento poligonale, in modo da poter applicare criteri di raffinamento ad-hoc. In questo modo, le Reti Neurali Convoluzionali possono essere utilizzate per migliorare le strategie di raffinamento esistenti, a un basso costo computazionale online. In tre dimensioni, estendiamo l'approccio bidimensionale per il raffinamento della mesh, combinando le Reti Neurali Convoluzionali anche con l'algoritmo k-means, per partizionare i punti del poliedro da raffinare, al fine di rendere l'approccio più robusto rispetto a griglie non strutturate. Per far fronte all'agglomerazione di mesh poligonali, proponiamo l'uso di Reti Neurali per Grafi per partizionare il grafo di connettività degli elementi della griglia. Le Reti Neurali per Grafi sono in grado di elaborare in modo naturale ed efficace sia il grafo che le informazioni geometriche, con una forte capacità di generalizzazione e una rapida inferenza di nuovi input. L'efficacia delle strategie proposte è dimostrata in termini di metriche di qualità, complessità della griglia, costo computazionale e prestazioni quando vengono applicate al metodo degli Elementi Virtuali Politopali, al metodo di Galekin Discontinuo per griglie Politopali e a solutori multi-griglia. Infine, come contributo complementare a questo lavoro, esploriamo l'uso delle Reti Neurali Variazionali Informate sulla Fisica del problema per risolvere direttamente il problema d'impedenza di Helmholtz unidimensionale, che è un approccio privo di mesh.