Robust design of low-thrust trajectories through differential dynamic programming enhancing the effects of orbital perturbations

Several future space mission will be equipped with low-thrust engines as main propulsion subsystem. This is true not only for planetary missions such as orbit raising, de-orbiting, Geostationary Transfer Orbits (GTOs), but also for interplanetary missions and large satellite constellations. The advantage in using low-thrust systems grants a higher final operational mass at the expense of a longer time of flight. Indeed, the main task of a space mission is to host a dedicated payload, which is associated to a set of scientific instruments to accomplish multiple objectives. The higher is the final operational mass the higher is the number of payloads to be set onboard of a single satellite. In the last 10 years the advancement in technology allowed to develop different types of new electric engines: solar engines, Hall effect thrusters, and plasma thrusters. The use of low-thrust engines completely changes the design problem of a spacecraft trajectory. When chemical engines, characterised by high thrust level, are involved in the design, the spacecraft trajectory design is solved considering multiple ballistic arcs separated by impulsive manoeuvrers. The introduction of low-thrust engines turns the control policy from discontinuous manoeuvres to continuous laws. The design of a continuous control law requires the solution of a non-linear optimal control problem. One of the many techniques used to solve this problem is Differential Dynamic Programming (DDP) which couples the main advantages of classic direct and indirect methods. Despite its strong mathematical formulation the DDP technique did not find many applications over the past and the state representation was always chosen in terms of Cartesian coordinates. It is interesting to apply this technique to spacecraft trajectory design problems written in terms of orbital elements. Indeed, orbital elements represent a natural set to describe orbit mechanics because they provide a more physical insight into the problem. The variation of orbital elements can be rapidly associated to a geometrical representation of the spacecraft trajectory, whereas a variation of the position or the velocity vector in terms of Cartesian coordinates cannot be visualised until the full trajectory is plotted. The aim of this research is to investigate the coupling between the optimisation technique of DDP with the use of orbital elements as dynamic formulation and to apply the algorithm to space mission trajectory design problems. The other topic investigated is the possibility to leverage the effect of orbital perturbations as accelerations that can be engineered in the space mission design and not see them as disturbing factors. This second objective is set by the COMPASS ERC project which funded this research. The main contributions of this work are the definition of a mathematical theory to couple DDP with orbital elements and the formulation of cost function to optimise the maximum shadow time experienced by a spacecraft. The algorithm is used to solve single or multi-revolution interplanetary and planetary transfers.

Numerose missioni spaziali future verranno equipaggiate con motori a bassa spinta. Tale scelta non riguarderà solo missioni di carattere planetario come innalzamento dell'apocentro, rientro di un satellite o orbite di trasferimento Geostazionarie (GTOs), ma anche a missioni interplanetarie. Il vantaggio principale nell'utilizzo di motori a bassa spinta è quello di garantire una maggiora massa per la strumentazione scientifica a bordo (il cosiddetto payload) a discapito di un maggior tempo di trasferimento. Lo sviluppo di motori a bassa spinta è cominciato, negli ultimi anni del XX secolo, attraverso l'utilizzo di motori ionici che sfruttavano lo xenon come propellente. Negli ultimi 10 anni il progresso tecnologico ha permesso lo sviluppo di ulteriori tipi di motore a bassa spinta: motori solari, motori basati sull'effetto di Hall e motori al plasma. L'uso di un motore a bassa spinta come sistema propulsivo cambia la progettazione della traiettoria del satellite. Infatti, per un satellite che sfrutta motori chimici caratterizzati da alte spinte, la traiettoria del satellite risulta essere l'unione di più archi balistici separati ognuno da una manovra impulsiva. Nel caso di motori a bassa spinta, l'accelerazione che viene fornita al satellite diventa continua trasformando la progettazione della traiettoria in un problema di controllo ottimo altamente non lineare. Una delle tecniche numeriche per poter risolvere tale problema consiste nella Programmazione Dinamica Differenziale (DDP) che unisce gli aspetti vantaggiosi dei classici metodi diretti e indiretti. Tuttavia, la DDP non ha vantato un grande utilizzo in particolare in ambito spaziale ed ha sempre usato un sistema di rappresentazione Cartesiana come caratterizzazione dello stato di un sistema dinamico. Questa ricerca propone lo studio e l'applicazione della DDP in ambito della progettazione delle traiettorie di un satellite usando i parametri orbitali come rappresentazione della dinamica. I parametri orbitali sono una scelta naturale per risolvere i problemi di meccanica celeste perchè offrono la possibilità di una visualizzazione più chiara della soluzione ottenuta. Ogni parametro orbitale può essere associato ad una caratteristica geometrica dell'orbita. Pertanto, la variazione di un parametro orbitale è sicuramente di più facile interpretazione rispetto alla variazione delle coordinate Cartesiane che risultano delle variabili che oscillano durante la rivoluzione di un satellite e che non forniscono alcun senso illustrativo fino a quando l'orbita tridimensionale non viene graficata. Un altro elemento analizzato in tale ricerca è la possibilità di usare le perturbazioni orbitali come accelerazioni a favore della progettazione della traiettoria di un satellite e non più come degli elementi di disturbo che devono essere contrastati con apposite manovre correttive. Questo secondo obiettivo è fissato dal progetto ERC COMPASS che ha finanziato la ricerca. I contributi principali di questo lavoro sono la definizione di una teoria matematica sull'accoppiamento della DDP con gli elementi orbitali e la formulazione di una funzione costo per ottimizzare il tempo massimo speso da un satellite all'interno dell'ombra generata in un'eclissi.