Modelling and simulations of two-phase flows including geometric variables

In this thesis, we analyze two-phase flows with emphasis on geometric variables that arise in their description. Two-phase flows play an important role in several natural processes and engineering systems and their modelling is thus a highly interdisciplinary research topic. They are characterized by the presence of an interface which separates the bulk regions of the single phases. Two-phase flows are classified into two main regimes: separated and disperse flows. However, independently of the specific regime, the exchanges between two phases occur at the interface and phase exchange terms are proportional to the interface area. Hence, the computation of this quantity is a prerequisite in order to obtain an accurate description of the phase exchanges themselves. Evolution equations for the interface area density are typically obtained by means of empirical approaches. One of the main goals of this thesis is the derivation of dynamic equations for the interface area density through the Stationary Action Principle (SAP). Moreover, the addition of source terms compatible with the second principle of thermodynamics allows to obtain, in appropriate limiting regimes, the classical pressure relaxation associated to the transport of the volume fraction. Furthermore, thanks to a suitable interpretation of some parameters, it is also possible to derive semi-empirical relationships for the interface area density already known in the literature. The other main goal of the thesis is the development of an effective computational environment for the simulation of two-phase flows. More specifically, we propose a Discontinuous Galerkin (DG) discretization suitable for a range of fluid dynamical models in the framework of the deal.II library, which is based on matrix-free approach and provides Adaptive Mesh Refinement (AMR) tools. We first present an implicit solver for the incompressible Navier-Stokes equations using an artificial compressibility formulation. We then derive an extension for single-phase weakly compressible flows with an implicit coupling between momentum and energy balance. A second order IMEX scheme is employed for the time discretization, with the implicit part coinciding with the TR-BDF2 scheme used for the incompressible Navier-Stokes equations, providing thus ample guarantees of robustness in the low Mach regime. The proposed technique allows us the use of rather general Equations of State (EOS) for non-ideal gases. More specifically, we propose a non straightforward extension of existing semi-implicit approaches for the ideal gas law for the Stiffened Gas (SG-EOS) and for the general cubic equation of state and we develop suitable refinement indicators for real gases. Finally, we provide an extension for the full non-equilibrium two-phase Baer-Nunziato models, developing also a filtering monotonization procedure in order to avoid, or at least reduce, the under- and over-shoots that arise in presence of discontinuities using high order discretizations. The effectiveness of all the proposed methods is shown in a number of significant benchmarks.

In questa tesi, si analizzano flussi bifase ponendo l'attenzione anche su alcune variabili geometriche che caratterizzano la loro descrizione. I flussi bifase giocano un ruolo importante in diversi processi naturali and sistemi ingegneristici e la loro modellazione è pertanto un argomento di ricerca interdisciplinare. Sono caratterizzati dalla presenza di un'interfaccia che separa le regioni bulk delle singole fasi. I flussi bifase sono classificati in due regimi: flussi separati e flussi dispersi. Indipendentemente dallo specifico regime, però, gli scambi tra le due fasi avvengono all'interfaccia e i termini di scambio tra le fasi sono proporzionali all'area dell'interfaccia. Quindi, un calcolo affidabile di questa quantità è un prerequisito per ottenere una descrizione accurata degli scambi tra le fasi. Le equazioni di evoluzione per la densità d'area interfacciale sono tipicamente ottenute attraverso considerazioni empiriche. Uno degli obiettivi principali della tesi riguarda la derivazione di relazioni dinamiche per la densità d'area interfacciale attraverso il Principio dell'Azione Stazionaria. Opportuni termini sorgenti sono considerati compatibilmente con il secondo principio della termodinamica così da ottenere, in opportuni regimi limite, il classico rilassamento della pressione associato all'equazione di trasporto della frazione di volume e, grazie ad un'opportuna interpretazione di alcuni parametri, ritrovare relazioni semi-empiriche già note in letteratura per l'evoluzione della densità d'area interfacciale. L'altro obiettivo della tesi riguarda lo sviluppo di un ambiente computazionale per la simulazione di fluidi bifase. Più in dettaglio, verrà proposta un'opportuna discretizzazione Discontinuous Galerkin (DG) per un range di modelli per la dinamica dei fluidi implementata nel framework della libreria deal.II, che è basata su un approccio di tipo matrix-free e permette di utilizzare adattazione di griglia. Lo sviluppo di un solver per le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili utilizzando una formulazione di tipo comprimibilità artificiale costituisce il punto di partenza. In seguito, verrà derivata un'estensione per fluidi monofose debolmente comprimibili con un accoppiamento implicito tra il bilancio della quantità di moto e quello dell'energia. Uno schema IMEX del secondo ordine è utilizzato per la discretizzazione temporale, la cui parte implicita coincide con lo schema TR-BDF2 utilizzato per le equazioni incomprimibili, fornendo pertanto ampia garanzia della robustezza dell'approccio proposto nel limite di basso numero di Mach. La tecnica proposta permette di utilizzare equazioni di stato di gas non ideali. Verrà proposta un'estensione non banale per la Stiffened Gas (SG-EOS) e per l'equazione di stato general cubic di approcci esistenti in letteratura per l'equazione di stato di gas ideali e, inoltre, verranno derivati opportuni indicatori per il raffinamento locale per gas non ideali. Infine, verrà proposta un'estensione per il modello di non equilibrio di Baer-Nunziato per fluidi bifase, sviluppando anche una procedura di monotonizzazione tramite un filtro in modo da evitare, o quantomeno ridurre, gli under- e over-shoots che sorgono in presenza di discontinuità quando vengono utilizzati metodi di discretizzazione ad alto ordine. Le potenzialità dei vari metodi proposti sono dimostrate in un numero di significativi benchmarks.