Non-conforming methods for the simulation of industrial polymer mixing processes

This work focuses on the numerical modelling of polymer mixing processes. These processes are performed with the aid of devices (single- and twin- screw extruders, planetary extruders, Banbury mixers, etc.) characterized by complex geometries in which body-fitted simulations can hardly be performed. Non-conforming approaches, like diffuse interface, fictitious domain, immersed boundary or volume penalty methods, represent the best alternative to simulate this type of processes, that may also involve complex kinematics. In this work, we present an implementation of an Immersed Boundary method (IBM) to deal with this type of simulations and with realistic industrial screw geometries. The flow of a polymer inside a mixing device is described by the incompressible Navier-Stokes equations. Moreover, the polymer is modelled as a non-Newtonian fluid with temperature dependent viscosity. Particular attention is paid to the description of rheological models of polymer viscosity, that depends on shear rate, temperature and filler fraction. To solve numerically this problem we consider the Finite Volume method (FVM), widely adopted in industry because of its built-in conservation properties, its ability to deal with arbitrary mesh and its computational efficiency. In this context, a variational analysis of the FVM as a Box method (BM) applied to the Stokes problem is carried out. The BM is a piecewise linear Petrov-Galerkin formulation on the Voronoi dual mesh of a Delaunay triangulation. To recover the inf-sup stability of the Stokes problem discretized by the Box method, we resort to the Rhie-Chow stabilization, for which a convergence analysis is presented. Then, we consider the linear Stokes problem discretized using the Box method combined with a Diffuse Interface method (DIM). The application of DIM to approximate non-conforming boundaries leads to error convergence rates that are suboptimal with respect to the ones of the conforming solution. To overcome the limited convergence properties of the Diffuse Interface Box method, we introduce an improved non-conforming approach based on the Immersed Boundary method. It consists in a discrete-forcing direct-imposition method where a mesh subset is selected and then the solution on this subset is computed with respect to the original boundary condition. The solution imposed is then corrected using a quadratic weighted least squares interpolation, that allows to significantly improve accuracy and recover optimal convergence rates. Moreover, due to the fact that the pressure-velocity coupling is solved with a projection algorithm (SIMPLE), a Neumann boundary condition for pressure that is consistent with the velocity profile has been developed. Finally, several applications to real industrial devices complete this work, in particular we considered single- and twin-screw extruders and planetary roller extruders. In general, extruders are made by an external shell, called barrel, and internal parts, called screws or rotors. While the barrel has often simple shape, screws present different geometric features and sharp edges. Moreover, the gaps between the barrel and the internal screws are narrow, four orders of magnitude smaller than the machine dimensions, which make the problem multi-scale. Here, the strategies that have been developed to deal with these complex objects are exposed, in particular for anisotropic grids or graded grids, multiple interacting and adjacent immersed geometries, moving objects, small gaps and the high non-linearity of the problem.

Il seguente lavoro si concentra sulla modellazione numerica di processi di mescolamento di polimero fuso. Questi processi vengono effettuati grazie a macchinari come estrusori monovite e bivite, estrusori planetari, Banbury mixers, in genere caratterizzati da geometrie complesse. Per questo motivo, la loro simulazione non è praticabile tramite approcci body-fitted, dato l'alto costo computazionale. Gli approcci detti non-conformi, come diffuse interface, fictitious domain, immersed boundary oppure volume penalty methods, rappresentano la miglior alternativa per simulare questo tipo di processi, che spesso presentano anche cinematiche complesse. Quindi, al fine di simulare geometrie realistiche di estrusori industriali, presentiamo l'implementazione di un Immersed Boundary method (IBM). Il flusso di un polimero all'interno di un mixer è descritto dalle equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili. Inoltre, i polimeri si possono considerare fluidi non-Newtoniani con viscosità dipendente dalla temperatura. Vengono quindi descritti i modelli reologici per la viscosità dei polimeri, la quale dipende, oltre che dalla temperatura, dallo sforzo di taglio e dalla presenza di additivi, chiamati filler, misurati in frazione di volume. Per la risoluzione numerica di questi problemi, abbiamo considerato il metodo ai volumi finiti (FVM), ampiamente utilizzato in campo industriale per la sua proprietà intrinseca di conservazione, per la sua capacità nel gestire mesh arbitrarie e per la sua efficienza computazionale. In questo contesto, è stata svolta un'analisi variazionale del FVM come Box method (BM) applicato al problema di Stokes lineare. Il BM è una formulazione Petrov-Galerkin lineare a tratti su una griglia Voronoi, duale di una triangolazione di Delaunay. Per recuperare l'inf-sup stabilità del problema di Stokes discretizzato con il BM ricorriamo alla stabilizzazione di Rhie-Chow, di cui presentiamo un'analisi di convergenza. Consideriamo poi il problema di Stokes lineare discretizzato con il Box method in combinazione con un metodo Diffuse Interface (DIM). L'utilizzo del DIM per approssimare contorni in maniera non-conforme porta a ordini di convergenza subottimali rispetto a quelli della soluzione conforme. Per superare i limiti di accuratezza del Diffuse Interface Box method, introduciamo un approccio non-conforme migliorato, basato sull'Immersed Boundary method. Esso consiste in un metodo discreto a imposizione diretta in cui viene selezionato un sottoinsieme della mesh e, su questo sottoinsieme, la soluzione viene calcolata tenendo conto della condizione al contorno originale. La soluzione imposta viene poi corretta utilizzando un'interpolazione quadratica ai minimi quadrati pesati, che permette di migliorare significativamente l'accuratezza e di ripristinare gli ordini di convergenza ottimali. Inoltre, dal momento che l'accoppiamento velocità-pressione viene risolto da un algoritmo di proiezione (SIMPLE), per la pressione è stata sviluppata una condizione di Neumann consistente con il profilo di velocità. A completamento di questo lavoro, presentiamo alcune applicazioni a macchinari industriali reali, in particolare abbiamo considerato estrusori monovite e bivite e un estrusore planetario. Gli estrusori sono di norma composti da un guscio esterno, chiamato cilindro, e internamente da viti o rotori. Il cilindro ha spesso una forma semplice, mentre le viti presentano spigoli e possono avere caratteristiche geometriche differenti. I traferri compresi tra le viti ed il cilindro sono molto stretti, quattro ordini di grandezza in meno rispetto alle dimensioni del macchinario: questo rende il problema multi-scala. A questo punto, descriviamo le strategie adottate per risolvere la forte non-linearità dei problemi di mescolamento dei polimeri fusi e per gestire la presenza delle viti e le complessità computazionali che introducono. Particolare attenzione è posta all'utilizzo di griglie con elementi anisotropi, alla gestione di più geometrie immerse o di geometrie in movimento e alla presenza di traferri stretti.