Optimization of WEC arrays, a new approach for the combined optimization of positions and damping coefficients

The ways of harvesting power from the sea is a topic that has been studied since the end of the past century. Given the importance that is nowadays associated with the use of renewable energies, the number of studies on this subject is quickly increasing. In this thesis, we consider wave energy converters as cylindrical bodies whose dynamic behavior is modeled through a linear spring-damper system. Positioning these bodies into different configurations, the total power extracted by the array they compose varies according to the positions they take. Interestingly, for some arrangements, it is possible to notice an increase in performances with respect to the scenario where the bodies are isolated. This phenomenon is called park effect. The extent to which the park effect contributes to the produced power is evaluated through the interaction factor, which is computed as the ratio between the power obtained by an array, and sum of the powers that each device composing the array would produce if it were isolated from all the other devices. What we want to achieve with this thesis is the development of a design strategy for a park of wave energy converters, that acts on both its geometrical and physical characteristics. Concerning the geometry of the array, we aim at computing the positions of its bodies, for which the interaction factor is maximized. Similarly, the physics of the array is improved by computing the damping coefficients that optimize the total extracted power. The biggest novelty introduced in this thesis is the combined optimization of the positions and of damping coefficients. The first step towards our goal is the study of the mathematical model developed by Child, which describes the interaction between waves and cylindrical bodies. A numerical implementation of this model is subsequently developed, using Python as the chosen programming language. Afterward, we validate our numerical implementation comparing the results that it produces, with the ones obtained in other previously published studies. Subsequently, to optimize the array, we develop the necessary mathematical models. We start by detailing how to optimize the positions and the damping coefficients individually. And we conclude by developing a model for the combined optimization of the positions and of the damping coefficients. Concerning the positions optimizations, we use the projected gradient method, where the cost function, to be minimized, is the total power with opposite sign, and its gradient is computed through a Lagrangian approach. We choose to use the projected gradient method, because we want to study which are the optimal positions of the bodies, under the constraint of them being fixed inside a given domain. Also for the damping coefficients optimization algorithm, a gradient method is used, with the requirement of the damping coefficients being positive at each iteration. Regarding the combined optimization, this is performed using a two steps gradient method, in which, at each iteration, we first modify the positions of the bodies, and subsequently their damping coefficients. These optimization strategies are therefore implemented, once again in Python to determine optimal configurations. We test them on arrays with different initial conditions, subject to different kinds of constraints. The obtained results show that, after the optimization is performed, the performances are indeed improved. This improvement amounts to different values according to the starting configuration and the selected constraint. Further optimizations could be performed using similar methods applied to other quantities, such as the bodies stiffness coefficients or the body's geometrical dimensions.

Le modalità di estrazione dell'energia dal moto del mare è un argomento che è stato studiato sin dalla fine del secolo scorso. Data l'importanza che oggi si associa all'utilizzo di energie rinnovabili, il numero di studi su questo argomento è in rapido aumento. In questa tesi consideriamo i convertitori di energia del moto ondoso come corpi cilindrici il cui comportamento dinamico è modellato attraverso un sistema lineare molla-smorzatore. Posizionando questi corpi in diverse configurazioni, la potenza totale estratta dall'array che compongono varia a seconda delle posizioni che assumono. È interessante notare che, per alcune sistemazioni, è possibile osservare un aumento delle prestazioni rispetto allo scenario in cui i corpi sono isolati. Questo fenomeno è chiamato effetto parco. La misura in cui l'effetto parco contribuisce alla potenza prodotta viene valutata attraverso il fattore di interazione, calcolato come rapporto tra la potenza ottenuta da un array e la somma delle potenze che ogni dispositivo che compone l'array produrrebbe se fosse isolato da tutti gli altri dispositivi. Ciò che si vuole ottenere con questa tesi è lo sviluppo di una strategia progettuale per un parco di convertitori di energia del moto ondoso, che agisca sia su caratteristiche geometriche che fisiche. Per quanto riguarda la geometria dell'array, ci proponiamo di calcolare le posizioni dei suoi corpi, per i quali il fattore di interazione è massimizzato. Allo stesso modo, la fisica dell'array viene migliorata calcolando i coefficienti di smorzamento che ottimizzano la potenza totale estratta. La più grande novità introdotta in questa tesi è l'ottimizzazione combinata delle posizioni e dei coefficienti di smorzamento. Il primo passo verso il nostro obiettivo è lo studio del modello matematico sviluppato da Child, che descrive l'interazione tra onde e corpi cilindrici. Successivamente, viene sviluppata un'implementazione numerica di questo modello, utilizzando Python come linguaggio di programmazione prescelto. Una volta effettualta l'implementazione, la convalidiamo confrontando i risultati che produce con quelli ottenuti in altri studi precedentemente pubblicati. Successivamente, per ottimizzare l'array, sviluppiamo i modelli matematici necessari. Iniziamo descrivendo in dettaglio come ottimizzare le posizioni e i coefficienti di smorzamento individualmente. E concludiamo sviluppando un modello per l'ottimizzazione combinata delle posizioni e dei coefficienti di smorzamento. Per quanto riguarda l' ottimizzazione delle posizioni, utilizziamo il metodo del gradiente proiettato, dove la funzione di costo da minimizzare è la potenza totale con segno opposto, e il suo gradiente è calcolato con un approccio lagrangiano. Abbiamo scelto di utilizzare il metodo del gradiente proiettato, perché vogliamo studiare quali sono le posizioni ottimali dei corpi, sotto il vincolo di essere posizionati all'interno di un dato dominio. Anche per l'algoritmo di ottimizzazione dei coefficienti di smorzamento viene utilizzato un metodo del gradiente, con il requisito che i coefficienti di smorzamento siano positivi ad ogni iterazione. Per quanto riguarda l'ottimizzazione combinata, questa viene eseguita utilizzando un metodo del gradiente a due fasi, in cui, ad ogni iterazione, modifichiamo prima le posizioni dei corpi e successivamente i loro coefficienti di smorzamento. Queste strategie di ottimizzazione vengono quindi implementate, ancora una volta in Python, per determinare le configurazioni ottimali. Li testiamo su array con diverse condizioni iniziali, soggetti a diversi tipi di vincoli. I risultati ottenuti mostrano che, dopo l'ottimizzazione, le prestazioni sono effettivamente migliorate. Questo miglioramento si traduce in valori diversi a seconda della configurazione di partenza e del vincolo selezionato. Ulteriori ottimizzazioni potrebbero essere eseguite utilizzando metodi simili applicati ad altre quantità, come i coefficienti di rigidità dei corpi o le dimensioni geometriche del corpo.