A Trefftz Discontinuous Galerkin method with Absorbing Boundary Conditions for the numerical simulation of the Helmholtz problem

The numerical simulation of Helmholtz problems in the time-harmonic acoustic framework set in unbounded domains requires a mesh based approach in bounded numerical domains. Therefore, we present a Trefftz method, which is a particular Discontinuous Galerkin method, applied to the problem complemented by Absorbing Boundary Conditions. Trefftz methods have been largely studied in the framework of Helmholtz equation and have turned out to be suitable. In particular, the use of propagative plane-waves is effective in approximating the solution. Nevertheless, their use is still limited by conditioning issues that arise whenever the approximate space becomes too large. The combination of the wave-based Trefftz method and the relative Ultra Weak Variational Formulation with Absorbing Boundary Conditions represents a novelty that we aim at studying and investigating in the present work. It leads to a new formulation of the problem whose numerical results are exploited to evaluate the efficiency of the approach.

La simulazione numerica dei problemi di Helmholtz nel contesto di onde acustiche tempo-periodiche in domini illimitati richiede un approccio in domini numerici limitati dotati di mesh. Perciò, presentiamo un metodo Trefftz, che è un particolare metodo di Galerkin Discontinuo, applicato al problema complementato da Condizioni al Bordo di Assorbimento. I metodi Trefftz sono stati ampiamenti studiati nel contesto dell'equazione di Helmholtz e sono risultati essere adatti. In particolare, l'uso di onde piane è efficace nell'approssimare la soluzione. Tuttavia, il loro uso è ancora limitato da problemi di condizionamento che sorgono ogni volta in cui lo spazio approssimante diventa troppo grande. La combinazione del metodo Trefftz per le onde e la relativa Formulazione Variazionale Ultra Debole con Condizioni al Bordo di Assorbimento rappresenta una novità che puntiamo a studiare e investigare nel presente lavoro. Porta a una nuova formulazione del problema i cui risultati numerici sono utilizzati per valutare l'efficienza dell'approccio.