Full order and reduced order models for the Navier-Stokes equations in stream function-vorticity formulation

This work aims to perform an analysis based on the Reduced Order Methods (ROMs) constructed through a data-driven approach in the context of geophysical applications. This study has been developed starting from the derivation of the Full Order Model (FOM) of the Navier-Stokes Equations (NSE) in the alternative formulation based on the vorticity and stream function variables, whose equivalence with the original model described through velocity and pressure is verified in the vortex merger benchmark. Once the model has been validated, the FOM is simulated in order to generate the dataset required to perform the ROM analysis. The reduced coefficients associated with the two variables (vorticity and stream function) have been estimated using different variants of the method based on the combination between the Proper Orthogonal Decomposition (POD) and different data-driven techniques: (i) Radial Basis Functions (RBF) interpolation, (ii) Gaussian Process Regression (GPR) and (iii) Artificial Neural Networks (ANNs). We compared our results with the ones obtained in previous studies in terms of accuracy and efficiency. We found that all methods produce acceptable accuracy, with drastic speed-ups with respect to the FOM. However, we observed poorer estimations of the vorticity with respect to the stream function. Among the three ROM approaches, the POD-GPR and POD-RBF resulted in higher speed-ups, while the time required to train the POD-ANN model can make it unsuitable for real applications. Given the promising prediction results on the sample dataset, we extended the analysis to larger time horizons to test the extrapolation accuracy of the ROM prediction. This analysis revealed the high potential of data-driven methods for geophysical applications and could make significantly faster and more efficient large-scale predictions.

Questo lavoro si propone di sviluppare un’analisi dei modelli ridotti (ROM) costruiti con un approccio data-driven nell’ambito di applicazioni geofisiche. Tale studio viene condotto partendo dalla derivazione di un modello full order (FOM) delle equazioni di Navier-Stokes nella formulazione alternativa basata sulle variabili vorticità e funzioni di corrente, la cui equivalenza con il modello originale di velocità e pressione viene dimostrata nel caso test del vortex merger. Una volta validato, il metodo introdotto viene utilizzato per produrre il dataset necessario all’analisi con modelli ridotti, in cui i coefficienti delle basi ridotte relativi alle due variabili (vorticità e funzione di corrente) vengono stimati attraverso la combinazione del metodo di decomposizione ortogonale (POD) e diversi metodi datadriven: (i) interpolazione con radial basis functions (RBF), (ii) regressione con processi gaussiani (GPR) e (iii) reti neurali artificiali (ANN). Abbiamo comparato i risultati ottenuti con quelli di studi precedenti in termini di accuratezza ed efficienza, scoprendo che tutti i metodi analizzati producono stime delle soluzioni con errori accettabili in un tempo notevolmente ridotto rispetto al modello full-order. Inoltre, abbiamo osservato che in termini di predizione, le stime ottenute per la vorticità sono peggiori di quelle ottenute per le funzioni di corrente. Confrontando i metodi utilizzati, abbiamo verificato infine che POD-GPR e POD-RBF producono buoni risultati in un tempo ragionevole, mentre il tempo richiesto per allenare la rete neurale la rende inadatta ad applicazioni reali. Dati comunque i risultati promettenti nella predizione del dataset analizzato, abbiamo esteso l’analisi ad un orizzonte temporale più ampio per verificare l’accuratezza nell’estrapolazione del comportamento della soluzione in un tempo futuro. Questa analisi ha rivelato il notevole potenziale dei metodi data-driven nelle applicazioni geofisiche e può migliorare le predizioni su larga scala rendendole piú rapide ed efficienti.