Verification and validation of quasi-static and dynamic VMS-LES methods for the numerical simulation of turbulent flows

One of the most challenging topic in the field of computational fluid dynamics (CFD), is the solution to the Navier-Stokes equations for turbulent flows. Over the years, mainly three approaches have been developed: Direct Numerical Simulations (DNS), Large Eddy Simulations (LES) and Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS). In this study, we analyse the Variational Multiscale-Large Eddy Simulations (VMS-LES) method, which was introduced as an improvement of standard LES methods. The idea behind the VMS-LES is to split the solution into the direct sum of a coarse scale and a fine scale term, instead of using a filtering procedure, as in traditional LES methods. This approach allows to stabilize advection dominated regimes, to satisfy the inf-sup condition and to model the turbulent regime of the blood flow according to the LES paradigm. While the coarse scale solution is approximated by standard spatial discretization meth- ods (we use the finite element method), many different definitions are available in the literature for the fine scales. In this work, we analyse two of them, performing the software verification and the model validation of the VMS-LES with either quasi-static or dynamic approximation of fine scales. Differently from the quasi-static, the dynamic VMS-LES method encompasses an additional ODE that models the time evolution of the fine scale velocity. By doing so, the dynamic VMS-LES method solves in a natural way the issue of the pressure stabilization parameter degeneration, characterizing the quasi-static version of the method. To perform verification and validation we consider the Beltrami-flow and the Taylor- Green-Vortex flow respectively. The first one is a simple test case used to check if the implementation of the method is correct. While the second one is a turbulence bench- mark, used to check if the method is able to actually reproduce the physical flow motion. Moreover, in the last chapter of this thesis, we test the two methods an a real application: a patience-specific stenotic carotid. We assess the performances of the two methods by testing several configurations of the flow conditions and of the numerical setup, to present a systematic comparison between the two on benchmark flows and on a real case. This allows us to investigate to which extent the dynamic is an improvement of the quasi-static VMS-LES method, as often suggested in the literature. In this regard, we highlight that the dynamic method overcomes the inconsistency related to the pressure stabilization parameter degeneration. Moreover, both the quasi-static and the dynamic VMS-LES methods with an implicit treatment of the non-convective term, perform well in verification and therefore, they should be free from implementation errors. However, in the model validation only the first one has accurately captured the turbulence indicators.

Una delle sfide più impegnative nel campo della fluidodinamica computazionale (CFD) è la risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes in regime turbolento. Per risolvere questo problema, nel corso degli anni, sono stati sviluppati diversi metodi, tra i quali i tre principali sono: le Direct Numerical Simulations (DNS), le Large Eddy Simulations (LES) e le Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS). In questo studio analizzeremo il metodo Variational Multiscale-Large Eddy Simulation (VMS-LES), un metodo LES nato per migliorare alcuni aspetti critici dei tradizionali metodi LES. Il punto di partenza dei VMS-LES è quello di definire la soluzione come la somma diretta di un termine rappresentativo della scala grande ed uno rappresentativo della scala fine, in contrapposizione ai LES tradizionali che si basano su un approccio di filtraggio. In tal modo, è possibile stabilizzare il regime avvettivo, soddisfare la condizione di inf-sup e modellare la turbolenza dei flussi sanguigni in analogia ai metodi LES. Nel metodo VMS- LES la scala grande viene approssimata in spazio utilizzando i metodi tradizionali quali, per esempio, il metodo agli elementi finiti, mentre per la scala fine è possibile adottare diverse formulazioni. In questa tesi ne analizzeremo due, affrontando la verificazione e la validazione del metodo VMS-LES con approssimazione della scala fine sia quasi-statica sia dinamica. A differenza del quasi-statico, nel metodo VMS-LES dinamico, la soluzione fine della velocità è ricavata risolvendo una equazione differenziale ordinaria. Così facendo, si dovrebbe risolvere l’inconsistenza del parametro di stabilizzazione della pressione, che nel metodo quasi-statico tende ad infinito quando si raffina la discretizzazione temporale. Per la verificazione e la validazione dei metodi abbiamo utilizzato il flusso di Beltrami ed il Taylor-Green-Vortex, rispettivamente, due casi test con proprietà differenti. Il primo è un caso semplice per cui è nota la soluzione analitica, utilizzato per valutare se il metodo è stato implementato correttamente. Il secondo è un benchmark di turbolenza che permette di verificare se il metodo è in grado di catturare i meccanismi principali di quest’ultima. Poiché non ci sono ancora molti studi che confrontano i risultati dei due metodi, in questa tesi proponiamo un’ analisi sistematica sui due casi test appena citati, con l’obbiettivo di confrontare quantitativamente il metodo dinamico rispetto al VMS-LES quasi-statico, al variare delle condizioni del flusso e del setup numerico. Infine, per fornire un riscontro pratico, applicheremo i due metodi ad un caso reale. Per concludere, possiamo affermare che il metodo dinamico sta effettivamente risolvendo l’inconsistenza legata al parametro di stabilizzazione della pressione. Inoltre, dalla verificazione si evince che i metodi VMS-LES quasi-statico e dinamico, combinati con uno schema implicito per l’approssimazione del termine non lineare, non contengono errori di implementazione. Tuttavia, dalla validazione del modello, riscontriamo che solamente il primo è in grado di simulare accuratamente la fisica del problema.