Convex neural networks and finite element approximation of non-newtonian fluids

Over the last few years, the power of machine learning has become increasingly evident, consolidating its presence in various scientific fields. This thesis investigates the substitution of the viscosity term in the Stokes equation for non-Newtonian fluids by employing an Input Convex Neural Network (ICNN): a specific neural network architecture that maintains a convex relationship between input and output. The reason behind this choice is to leverage the advantages of artificial neural networks over the more traditional model-approach for describing the viscosity of a fluid, while ensuring that the necessary assumptions on the viscous term for the Stokes equation to admit a unique solution are met. To validate this method, a direct comparison is made between the solutions obtained by considering the traditional Carreau law (a widely used non-Newtonian constitutive equation) as the viscous law and the solutions derived from a modified Stokes equation, where the viscosity term is replaced by an ICNN trained on data sampled from the Carreau law itself. This research contributes to the growing body of knowledge exploring the intersection of machine learning and fluid dynamics and it provides a foundation for further investigation and development, in employing ICNNs for non-Newtonian fluid modelling.

Negli ultimi anni, le potenzialità del machine learning sono diventate sempre più evidenti, consolidando la sua presenza in diversi campi scientifici. Questa tesi studia la sostituzione del termine viscoso nell'equazione di Stokes per i fluidi non newtoniani con una Input Convex Neural Network (ICNN), una specifica architettura di rete neurale che mantiene una relazione di convessità tra input e output. La ragione di questa scelta è quella di sfruttare i vantaggi delle reti neurali artificiali rispetto al più tradizionale approccio modellistico per la descrizione della viscosità di un fluido, assicurando al contempo che siano soddisfatte le assunzioni necessarie sul termine viscoso affinché l'equazione di Stokes ammetta una soluzione unica. Per convalidare questo approccio, viene fatto un confronto diretto tra le soluzioni ottenute considerando la tradizionale legge di Carreau (una equazione constitutiva molto usata per modellare fluidi non newtoniani) come legge di viscosità e le soluzioni derivate da un'equazione di Stokes modificata, dove il termine di viscosità è sostituito da una ICNN addestrata su dati campionati dalla stessa legge di Carreau. Questa ricerca contribuisce al crescente corpus di conoscenze che esplora l'intersezione tra machine learning e fluidodinamica e fornisce le basi per ulteriori esplorazioni e sviluppi nell'impiego delle ICNN per la modellazione di fluidi non newtoniani.