Roughness and Zumbach Effect: The Stochastic Volatility Puzzle

In recent years the quantitative finance literature has seen the introduction and growth of a new family of models: the rough fractional stochastic volatility (RFSV) models. Many papers have been published discussing the several advantages that this new family of models is supposed to have, while the fundamental statistical assumptions for the development of the RFSV models remain uncertain. In this work we investigate the main assumption of RFSV models, that the Spot Volatility should be rough, however, we find that the observation of market data is well compatible with a classical Brownian diffusion model for the volatility process. Moreover, in this work we analyzed a single application of a market property, the Zumbach effect, on RFSV and SV models, finding that neither is capable of reproducing the observations on market data. We concluded that RFSV models, which have sparked a great interest in the quantitative finance community, might not be the right direction to finding the best model to explain the stock market. Our work is organized as follows: • In chapter 1, we talk about the fractional Brownian Motion, and how to simulate it. • In chapter 2, we define the Rough Fractional Volatility model, while also recalling the history of volatility modelling. • In chapter 3, we explore the Heston model, the Rough Heston Model and the Lifted Heston model, and the ways to generate simulation of those models. • In chapter 4, we explain how to estimated the Realized Volatility from market data. • In chapter 5, we define three different methods to estimate the Hurst parameter from time series, and we compare their accuracy. • In chapter 6, we define the Zumbach Effect, and how to estimate it from time series. • In chapter 7, we discuss the data used in our observations. • In chapter 8, we define our experiments on statistical observations of the roughness of Spot and Realized Volatility, and we discuss the results we obtained. • In chapter 9, we define our experiments on statistical observations of the Zumbach effect, and we discuss the results we obtained. The Matlab codes that generates the experiments and results described in the thesis are relegated in the Appendix A.

Negli ultimi anni la letteratura di finanza quantitativa ha visto l’introduzione e lo sviluppo di una nuova famiglia di modelli: i modelli con rough fractional stochastic volatility (RFSV). Molti articoli sono stati pubblicati discutendo i numerosi vantaggi che questa nuova famiglia di modelli dovrebbe avere; tuttavia, le ipotesi statistiche fondamentali per lo sviluppo dei modelli RFSV rimangono incerte. In questo lavoro abbiamo indagato l’ipotesi principale dei modelli RFSV, ovvero che la volatilità spot sia rough, tuttavia, troviamo che dall’osservazione i dati di mercato sono ben compatibili con un modello di diffusione Browniano classico per le dinamiche della volatilità. Inoltre, in questo la- voro abbiamo analizzato una singola applicazione di una proprietà del mercato, l’effetto Zumbach, sui modelli RFSV e SV, scoprendo che nessuno dei due modelli è in grado di riprodurre le osservazioni sui dati di mercato. Abbiamo concluso che i modelli RFSV, che hanno suscitato un grande interesse tra gli esperti di finanza quantitativa, potrebbero non essere la direzione giusta per trovare il miglior modello per spiegare il mercato azionario. Il nostro lavoro è organizzato come segue: • Capitolo 1, parliamo del moto Browniano frazionario e di come è possibile simularlo. • Capitolo 2, definiamo il modello di rough fractional stochastic volatility, riprendendo anche la storia della modellazione della volatilità. • Capitolo 3, esploriamo il modello di Heston, il modello rough Heston e il modello lifted Heston, nonché i modi per generare la simulazione di tali modelli. • Capitolo 4, spieghiamo come stimare la volatilità realizzata dai dati di mercato. • Capitolo 5, definiamo tre diversi metodi per stimare il parametro di Hurst da serie temporali e confrontiamo la loro accuratezza. • Capitolo 6, definiamo l’effetto Zumbach e come stimarlo nelle serie temporali. • Capitolo 7, discutiamo i dati utilizzati nelle nostre osservazioni. • Capitolo 8, definiamo i nostri esperimenti sulle osservazioni statistiche della rough- ness della volatilità spot e realizzata, e discutiamo i risultati che abbiamo ottenuto. • Capitolo 9, definiamo i nostri esperimenti sulle osservazioni statistiche dell’effetto Zumbach, e discutiamo i risultati che abbiamo ottenuto. I codici Matlab che genera gli esperimenti e i risultati descritti nel lavoro di tesi sono relegati nell’Appendice A.