Adaptive Rational Equilibrium Dynamics: stability bifurcations and deterministic chaos

Adaptive Rational Equilibrium Dynamics models were introduced in the late 90s. In these capital asset pricing models, investors have the option to choose between a fundamental trading strategy, incurring a positive cost, and a cost-free trend-following strategy. The distinction between fundamentalists and trend followers is then introduced. A Market Maker balances the (positive or negative) excess demand for the risky asset, updating its price accordingly. More sophisticated models account for the presence of other types of investors, such as contrarians and bias traders. Under the Efficient Market Hypothesis and the Rational Expectation Hypothesis, investors are assumed to be rational, aiming to adopt the best performing strategy. Analytical and numerical results demonstrate that fnancial markets are stable, and prices tend to converge to the fundamental value when agents are not inclined to change their beliefs at each time instant. Multiple non fundamental equilibria may arise as the tendency to update strategies increases. As the intensity of choice further rises, market dynamics become chaotic, leading to massive price fluctuations. From a mathematical perspective, fnancial instability arises due to homoclinic bifurcations of stable and unstable manifolds of the fundamental steady state, giving rise to strange and chaotic attractors. Pessimistic phases, characterized by price fluctuations below the fundamental value, can be mitigated by constraining traders’ possibilities. The uptick rule serves as an example.

I modelli Adaptive Rational Equilibrium Dynamics furono introdotti a fne anni 90. In questi capital asset pricing models gli investitori possono scegliere tra una strategia d’investimento fondamentale, pagando un costo positivo, e una strategia basata sull’ osservazione dei trend che non ha un costo. La distinzione tra fondamentalisti e seguitori di trend è quindi introdotta. Un Market Maker bilancerà l’eccesso di domanda (positivo o negativo) del titolo rischioso e il suo prezzo verrà aggiornato di conseguenza. Modelli più sofsticati permettono la presenza di ulteriori tipi di investitori. Per esempio, investitori in controtendenza e bias traders. Sotto l’Ipotesi di Mercato Efciente e l’Ipotesi di Attesa Razionale gli investitori sono considerati razionali: il loro obiettivo è adottare la strategia più performante. Risultati analitici e numerici mostrano come i mercati fnanziari sono stabili e i prezzi tendono al valore fondamentale quando gli agenti non sono così inclini a cambiare le loro convinzioni ad ogni istante di tempo. Più di un equilibrio non fondamentale può apparire al crescere della tendenza ad aggiornare strategia. Al crescere ulteriore dell’intensità di scelta le dinamiche di mercato sono caotiche portando a consistenti fluttuazioni dei prezzi. Da un punto di vista matematico, l’instabilità fnanziaria è dovuta alle biforcazioni omocline delle varietà stabile e instabile dell’equilibrio fondamentale, dalle quali compaiono attratori strani e caotici. Fasi pessimistiche caratterizzate da fluttuazioni dei prezzi al di sotto del valore fondamentali possono essere contrastate limitando le possibilità degli investitori. L’uptick rule rappresenta un esempio.