Numerical Methods for Option Pricing under Polynomial Diffusion Models

The interest in derivatives on volatility started after the 1987 Black Monday crash as people realized they needed a way to hedge against changes in the volatility itself. Nowadays, with the increasing number of participants in financial markets due to retail online trading platforms, these derivatives have grown significantly their traded volumes, since they are the go-to instruments for portfolio protection. Consequently, market makers now require sophisticated volatility models that accurately mirror market behavior for precise pricing and effective risk management of these complex derivatives. This thesis focuses on exploring the potential of polynomial diffusion models for pricing and calibrating VIX derivatives using numerical methods based on the moments of the polynomial diffusion processes. In particular, in view of the so-called rough volatility paradigm, which since the publication of the paper "Volatility is rough" by Gatheral, Jaisson and Rosenbaum [25] in 2014 has attracted great attention due to the rough volatility models' ability to accurately capture market fluctuations and reproduce implied volatility surfaces, this research concentrates on the implementation, using moment-based formulas, of the rough and non-rough Jacobi stochastic volatility models, introduced in the 2018 paper "The Jacobi Stochastic Volatility Model" by Ackerer, Filipović and Pulido [6]. In particular, the research is divided into three chapters. The first introduces a pricing methodology for polynomial diffusion models which is then employed to price a European call option on the SPX, following the work of Ackerer et al. (2018) [6] but enhancing their research results by providing insights into its applicability through calibration. The second and third, introduce formulas to express the VIX index and apply this pricing methodology to VIX derivatives under the non-rough and rough Jacobi models, respectively. These chapters mark the first instances in the literature where this methodology is applied to VIX derivatives under the Jacobi model.

L'interesse per i derivati sulla volatilità è iniziato dopo il crollo del Lunedì Nero del 1987, poiché le persone realizzarono la necessità di un modo per coprirsi contro le variazioni della volatilità. Oggi, con l'aumento del numero di partecipanti nei mercati finanziari grazie alle piattaforme di trading online, questi derivati hanno visto significativamente crescere i volumi scambiati, essendo diventati gli strumenti di riferimento per la protezione dei portafogli azionari. Di conseguenza, i market maker necessitano ora modelli di volatilità sofisticati che riflettano accuratamente il comportamento del mercato per una determinazione precisa dei prezzi dei derivati e una gestione efficace del rischio di questi derivati complessi. Questa tesi si concentra sull'esplorazione del potenziale dei modelli a diffusione polinomiale per la determinazione dei prezzi e la calibrazione dei derivati su VIX utilizzando metodi numerici basati sui momenti dei processi di diffusione polinomiale. In particolare, alla luce del cosiddetto paradigma della volatilità ruvida, la quale ha attirato grande attenzione a partire dalla pubblicazione del paper "Volatility is rough" da parte di Gatheral, Jaisson e Rosenbaum nel 2014 [25] grazie alla capacità dei modelli di volatilità ruvida di catturare accuratamente le fluttuazioni di mercato e riprodurre le superfici di volatilità implicita, questa ricerca si concentra sull'implementazione, mediante formule basate sui momenti, dei modelli a volatilità stocastica di Jacobi ruvido e non ruvido, introdotto per la prima volta nel paper del 2018 "The Jacobi Stochastic Volatility Model" di Filipović e Pulido [6]. In particolare, la ricerca è suddivisa in tre capitoli. Il primo introduce una metodologia di pricing per modelli a diffusione polinomiale che viene poi utilizzata per determinare il prezzo di un'opzione call europea sull'indice SPX, seguendo la ricerca di Ackerer et al. (2018) [6] ma sviluppandone i risultati studiando la calibrazione per valutarne l'applicabilità pratica. Il secondo e il terzo capitolo introducono formule per esprimere l'indice VIX e applicano la metodologia di pricing ai derivati su VIX nei modelli di Jacobi non ruvido e ruvido, rispettivamente. Questi capitoli rappresentano le prime applicazioni di questa metodologia ai derivati su VIX del modello di Jacobi nella letteratura.