Path-Dependent Volatility models: how fast is SPX and VIX pricing?

Over the years, much more attention has been paid to modeling asset pricing dynamics than volatility dynamics. In the recent period, however, the study of volatility trends within pricing models has increased. It has been shown that volatility is, for most of its value, path dependent; in fact, it is possible to explain up to 90% of the variance of the implied volatility of equity indices endogenously, that is, through the values of past returns alone, without the need to introduce a stochastic component such as Brownian motion. The growing interest in volatility dynamics is also given by the fact that in finance we want to do the joint smile calibration of the S&P 500/VIX implied volatility. Thus, a new model is introduced that is capable of doing this calibration and in which volatility is defined in such a way as to satisfy the "Zumbach Effect" and the "Leverage Effect." Having defined the model, it is crucial to analyze the pricing techniques in order to produce truly applicable results. In order to be able to represent the implied volatility curve of both the S&P 500 and the VIX, one must start by calculating the derivatives (European options). Two techniques will be used: Monte Carlo simulations and binomial tree. The Monte Carlo method is well known to the world of finance and easily applicable, but in the presence of an index with a complex definition such as the VIX it does not turn out to be the only valid solution. Thus, the non-recombinant binomial tree is developed specifically from the newly introduced model: it will turn out to be a valid alternative. We will compare the results produced by the two techniques, with a focus on computational time and costs referring to memory.

Nel corso degli anni si è prestata molta più attenzione alla modellazione della dinamica dei prezzi degli asset che a quella della volatilità. Negli ultimi tempi, tuttavia è aumentato lo studio dell'andamento della volatilità all'interno dei modelli di pricing. È stato dimostrato che la volatilità è, per la maggior parte del suo valore, dipendente dal percorso; infatti, è possibile spiegare fino al 90% della varianza della volatilità implicita degli indici azionari in modo endogeno, cioè attraverso i soli valori dei rendimenti passati, senza la necessità di introdurre una componente stocastica come il moto browniano. Il crescente interesse per la dinamica della volatilità è dato anche dal fatto che in finanza si vuole effettuare la calibrazione congiunta dello smile della volatilità implicita dell'S&P 500/VIX. Viene quindi introdotto un nuovo modello in grado di effettuare tale calibrazione e in cui la volatilità è definita in modo tale da soddisfare l'"Effetto Zumbach" e l'"Effetto Leverage". Definito il modello, è fondamentale analizzare le tecniche di pricing per produrre risultati realmente applicabili. Per poter rappresentare la curva di volatilità implicita sia dell'S&P 500 che del VIX, è necessario partire dal calcolo dei derivati (opzioni europee). Verranno utilizzate due tecniche: simulazioni Monte Carlo e albero binomiale. Il metodo Monte Carlo è ben noto al mondo della finanza e facilmente applicabile, ma in presenza di un indice con una definizione complessa come il VIX non risulta essere l'unica soluzione efficace. Pertanto, l'albero binomiale non ricombinante è stato sviluppato appositamente a partire dal modello appena introdotto: si rivelerà una valida alternativa. Confronteremo i risultati prodotti dalle due tecniche, con particolare attenzione ai tempi di calcolo e ai costi relativi alla memoria.