A dam management problem with energy production

This thesis aims to define and solve a problem of dam management for electricity power production, while taking into account the relevant physical constraints. In particular, the water level in the reservoir must not exceed a certain threshold for safety reasons, while at the same time it cannot fall below a minimum level required for electricity generation. Additionally, the need to produce energy at a specific frequency for distribution to the grid gives rise to an optimal control problem involving switching mechanisms. Within this control framework, the primary objective of dam management is to optimize revenues from power generation, which is captured by the value function. The problem is approached using the Dynamic Programming Principle (DPP) and the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. To handle the problem the viscosity solutions framework is employed. This approach allows to characterized the value function as the unique viscosity solution to the system of HJB equations associated with the stochastic control problem with switching. Following the work of Chevalier, Di Girolami, Gaïgi, Giovannini, Scotti (2023), we examine all the key steps, from the problem formulation to the development of the numerical solution. Specifically, we carefully analyze the underlying theory and formal steps, and we include the actual implementation via a MATLAB code of a numerical scheme to explore the numerical results presented in the study.

Questa tesi si propone di definire e risolvere un problema di gestione di una diga per la produzione di energia elettrica, tenendo conto dei vincoli fisici rilevanti. In particolare, il livello dell’acqua nel bacino non deve superare una certa soglia per motivi di sicurezza e, allo stesso tempo, non può scendere al di sotto di un livello minimo necessario per generare elettricità. Inoltre, la necessità di produrre energia a una frequenza specifica per la distribuzione nella rete elettrica dà origine a un problema di controllo ottimo che coinvolge meccanismi di switching. All’interno di questo contesto di controllo, l’obiettivo principale della gestione di una diga è ottimizzare i ricavi dalla produzione di energia, obiettivo che è rappresentato dalla funzione valore. Il problema è affrontato utilizzando il Principio di Programmazione Dinamica (DPP) e le equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Si impiega la teoria delle soluzioni viscose per affrontare il problema. Questo approccio permette di caratterizzare la funzione valore come l’unica soluzione viscosa per il sistema di equazioni di HJB associato al problema di controllo stocastico con switching. Seguendo il lavoro di Chevalier, Di Girolami, Gaïgi, Giovannini, Scotti (2023), esaminiamo tutti i passaggi chiave, dalla formulazione del problema allo sviluppo della soluzione numerica. In particolare, analizziamo attentamente la teoria sottostante e i passaggi formali, includendo l’implementazione tramite codice MATLAB di uno schema numerico al fine di esplorare i risultati numerici presentati nello studio.