A new model for the joint calibration of SPX and VIX derivatives

The VIX index has become a central benchmark for market-implied volatility, serving both as an indicator of investor sentiment and as a tradable instrument through futures and options. As the VIX derivatives market has grown, so has the need for models that can jointly capture the dynamics of both the equity market—via SPX options—and the volatility market—via VIX futures and options. To address the persistent challenges of jointly calibrating equity and volatility markets, this thesis investigates three continuous-time stochastic volatility models: the classical Heston model, the Ornstein-Uhlenbeck model, and a second-order Continuous Autoregressive model (CAR(2)), which is introduced here as a novel application to equity volatility modeling. Each model is embedded in a Monte Carlo simulation-free joint calibration framework that first aligns key market quantities—such as discount curves, SPX forwards, and VIX futures—before calibrating to SPX and VIX options. We derive semi-analytic pricing formulae for VIX derivatives and employ Fourier-based methods (FFT) for SPX option pricing. In the CAR(2) model, we improve computational efficiency by adapting the affine ODE framework of Duffie at al. (2000) to solve the model-specific characteristic function. Additionally, this work extends the theoretical insights of Mechkov (2015) by explicitly deriving the characteristic function of the Heston model in the fast mean-reversion limit and establishing a parameter mapping to the Normal Inverse Gaussian distribution. Overall, this thesis aims to achieve a stable calibration with a compact set of parameters, offering a practical balance between accuracy, tractability, and parsimony.

L’indice VIX è diventato un punto di riferimento centrale per la volatilità implicita di mercato, fungendo sia da indicatore della fiducia degli investitori sia da strumento negoziabile tramite futures e opzioni. Con la crescente diffusione dei derivati sul VIX, è emersa l’esigenza di modelli capaci di catturare congiuntamente la dinamica del mercato azionario—attraverso le opzioni sull’indice SPX—e del mercato della volatilità—attraverso futures e opzioni sul VIX. Per affrontare le persistenti difficoltà legate alla calibrazione congiunta di questi due mercati, questa tesi analizza tre modelli di volatilità stocastica in tempo continuo: il modello classico di Heston, il modello di Ornstein–Uhlenbeck e un modello autoregressivo continuo di secondo ordine (CAR(2)), proposto qui come nuova applicazione alla modellizzazione della volatilità azionaria. Ciascun modello è inserito in un contesto di calibrazione congiunta privo di simulazioni Monte Carlo, che prevede un allineamento iniziale di grandezze di mercato chiave—come curve di sconto, forward SPX e futures VIX—seguito dalla calibrazione su opzioni SPX e VIX. Deriviamo formule di prezzo semi-analitiche per i derivati sul VIX e impieghiamo metodi basati sulla trasformata di Fourier (FFT) per la valutazione delle opzioni su SPX. Nel modello CAR(2) miglioriamo l’efficienza computazionale adattando il sistema affine di equazioni differenziali di Duffie et al. (2000) per calcolare la funzione caratteristica del modello. Inoltre, questo lavoro estende i risultati teorici di Mechkov (2015) derivando esplicitamente la funzione caratteristica del modello di Heston nel caso limite di elevata velocità di ritorno alla media, e identificando una mappatura diretta dei parametri con quelli della distribuzione Normale Inversa Gaussiana. Nel complesso, questa tesi si propone di ottenere una calibrazione stabile con un numero ridotto di parametri, offrendo un compromesso efficace tra accuratezza empirica, trattabilità analitica e parsimonia modellistica.