A positivity-preserving discontinuos Galerkin method on polytopal grids for a modified Fisher-Kolmogorov model

The Fisher–Kolmogorov model is a well-known nonlinear reaction–diffusion equation widely used to describe the interplay between diffusion and reaction and find important applications across disciplines, e.g., population dynamics, neurodegenerative diseases, cancer growth, epidemiology, and invasive species expansion. The Fisher–Kolmogorov solutions often exhibit traveling wavefronts, and -under suitable conditions on the data- a key property at the continuous level is that the solution is positive (and bounded). The preservation of positivity is important: if the initial profile is nonnegative, the solution cannot develop negative values as time evolves. The inherent positivity-preserving mechanism of the Fisher–Kolmogorov dynamics is crucial from a modeling perspective. Indeed, in biological and physical applications, the solution to the FK equation typically represents a density or a concentration, for which negative values make no sense. At the numerical level, preserving positivity is particularly challenging, since numerical schemes do not automatically inherit this property. Standard Finite discretization may lead to negative values of the discrete solution that are not only unphysical but can also negatively influence the overall stability of the schemes. In this thesis, we first propose a modified FK model that remains consistent with the original FK model and introduce its discretization, which is based on a high-order Discontinuous Galerkin method on general polygonal and polyhedral grids (PolyDG) for space discretization combined with implicit second-order time integration. Thanks to the proposed modified FK model, the corresponding semidiscrete formulation is automatically positivity preserving. The numerical experiments demonstrate that the formulation approach exhibits stability and optimal accuracy under both mesh refinement and high-order polynomial approximations. The proposed numerical method can find important applications in modeling neurodegenerative diseases, where the FK equation is used to simulate pathological protein propagation typical of proteinopathies like Alzheimer's or Parkinson's diseases.

Il modello di Fisher–Kolmogorov è una nota equazione non lineare di reazione-diffusione, ampiamente utilizzata per descrivere l’interazione tra diffusione e reazione, con importanti applicazioni in diversi ambiti, ad esempio la dinamica delle popolazioni, le malattie neurodegenerative, la crescita tumorale, l’epidemiologia e l’espansione di specie invasive. Le soluzioni del modello di Fisher–Kolmogorov mostrano spesso fronti d’onda propaganti e, sotto opportune condizioni sui dati, una proprietà chiave a livello continuo è che la soluzione è positiva (e limitata). La preservazione della positività è fondamentale: se il profilo iniziale è non negativo, la soluzione non può sviluppare valori negativi nel corso del tempo. Il meccanismo intrinseco di mantenimento della positività delle dinamiche di Fisher–Kolmogorov è cruciale dal punto di vista modellistico. Infatti, nelle applicazioni biologiche e fisiche, la soluzione dell’equazione FK rappresenta tipicamente una densità o una concentrazione, per la quale valori negativi non hanno alcun senso. A livello numerico, preservare la positività è particolarmente complesso, poiché gli schemi numerici non ereditano automaticamente questa proprietà. Discretizzazioni standard possono portare a valori negativi della soluzione discreta, che risultano non solo non fisici, ma possono anche compromettere la stabilità complessiva dello schema. In questa tesi, proponiamo innanzitutto un modello FK modificato che resta coerente con il modello originale e introduciamo la sua discretizzazione, basata su un metodo di Galerkin Discontinuo di ordine elevato su griglie poligonali e poliedriche generali (PolyDG) per la discretizzazione spaziale, combinato con un’integrazione temporale implicita di secondo ordine. Grazie al modello FK modificato, la corrispondente formulazione semidiscreta preserva automaticamente la positività. Gli esperimenti numerici dimostrano che l’approccio proposto garantisce stabilità e accuratezza ottimale sia in caso di raffinamento della mesh sia di approssimazioni polinomiali di alto ordine. Il metodo numerico proposto può trovare importanti applicazioni nello studio delle malattie neurodegenerative, dove l’equazione FK viene utilizzata per simulare la propagazione di proteine patologiche tipiche di proteinopatie come l’Alzheimer o il Parkinson.