Option Pricing in Lévy-driven Stock Models

In this work we will present a particular class of Lévy process, which can be used in nancial modeling as an extension of the Black and Scholes setting based on the Brownian motion: alpha -stable processes and their variation with exponential tilting (tempered stable processes). In particular we will focus our attention on the CGMY processes presented by Carr, Géman, Madan and Yor. For this particular process we will study di erent kind of representation (compound poisson representation, series representation and Brownian subordination) and we will use these to price vanilla and path dependent options via Monte Carlo simulations. Finally we will try to improve the pricing methods using importance sampling. Choosing a suitable change of measure, it is possible to use a tempered stable process, without sampling directly from its distribution, but from one of an easier stable process. In this way the pricing becomes less time consuming with the same accuracy.

In questo lavoro presenteremo una particolare classe di processi di Lévy, che possono essere usati per elaborare un'estensione del modello di mercato dato da Black e Scholes attreverso il moto Browniano: i processi alpha-stable e la loro variante con modulazione esponenziale (tempered stable processes). In particolare concentreremo la nostra attenzione sui processi CGMY presentati da Carr, Géman, Madan and Yor. Per questo particolare tipo di processo stocastico studieremo diversi tipi di rappresentazione (rappresentatzione attraverso un processo di tipo compound poisson, rappresentazione in serie and subordinazione Browniana) e useremo queste raperentazioni nell'ambito del pricing di opzioni vanilla e path dependent attraverso simulazioni Monte Carlo. Infine cercheremo di migliorare i metodi di pricing ottenuti usando l'importance sampling. Utilizando un cambio di misura adatto è possibile utilizzare un modello basato su un processo tempered stable, evitando però di campionare direttamente dalla sua distribuzione, ma piuttosto da quella di un più semplice processo alpha-stable. In questo modo è possibile rendere l'operazione di pricing molto piu veloce a parità di accuratezza.