High-order discontinuous Galerkin methods for 1D vascular flows: from single-scale models to 3D-1D multiscale haemodynamics

One-dimensional (1D) modeling of vascular flows belongs to the family of reduced-order models for haemodynamics; it is well established in literature to study the wave propagation along arteries, while remarkably reducing the computational burden with respect to three-dimensional (3D) fluid-structure interaction (FSI) models. The objective of this work is to present the underlying mathematical formulation of the 1D haemodynamics equations and to devise a suitable numerical approximation, capable of capturing the waveforms with a minimum amount of diffusion and dispersion errors. For this purpose, we adopt discontinuous Galerkin (DG) finite element methods for the space discretization and exploit high-order polynomials in order to describe the waveforms accurately. The time discretization is achieved by means of Adams-Bashforth (AB) schemes. In this context, the literature assumes a flat velocity profile within the vessel cross section to approximate the non-linear momentum transport term, thus leading to considerable mathematical simplifications. However, in this work, we avoid this hypothesis by deriving a proper expression for Roe's linearization applied to the 1D haemodynamics equations, meaning that the numerical method can be readily applied to an arbitrary velocity profile. After that, we extend the formulation to discontinuous material properties (e.g. representing the installation of a stent) and to complex blood vessel networks (i.e. accounting for junction points). In addition, a possible strategy to couple the current 1D solver with 3D FSI solvers is discussed. Relevant numerical experiments appearing in this work include a verification against benchmark solutions from literature (which demonstrates the correctness of the numerical method and its implementation), the study of a single pressure pulse in a 3D-1D coupled simulation (to highlight possible numerical issues arising at the coupling interface) and a detailed convergence analysis (where we show the sub-optimality of AB schemes for the numerical approximation at hand).

La modellazione monodimensionale (1D) del flusso sanguigno appartiene alla famiglia di modelli di ordine ridotto per l'emodinamica; questo modello è consolidato in letteratura per studiare la propagazione di onde nelle arterie, riducendo drasticamente l'onere computazionale rispetto a modelli tridimensionali (3D) di interazione fluido-struttura (FSI). L'obiettivo di questo lavoro è quello di presentare la formulazione matematica delle equazioni dell'emodinamica 1D e di ideare un'opportuna approssimazione numerica capace di catturare le forme d'onda, introducendo un errore minimo di diffusione e dispersione. A tal proposito, adottiamo metodi agli elementi finiti di Galerkin discontinui (DG) per la discretizzazione nello spazio e sfruttiamo polinomi di ordine elevato al fine di descrivere le forme d'onda accuratamente. La discretizzazione nel tempo è realizzata tramite schemi di Adams-Bashforth (AB). In questo contesto, le letteratura assume un profilo di velocità piatto nella sezione trasversale del vaso, al fine di approssimare il termine non-lineare di trasporto della quantità di moto, portando così a semplificazioni matematiche notevoli. Tuttavia, in questo lavoro, evitiamo questa assunzione e deriviamo un'espressione opportuna per la linearizzazione di Roe applicata alle equazioni dell'emodinamica 1D, il che implica che il metodo può essere applicato a un profilo di velocità arbitrario. Dopodiché, estendiamo la formulazione a proprietà discontinue del materiale (rappresentando, ad esempio, l'installazione di uno stent) e ad una rete complessa di vasi sanguigni (ossia, teniamo in considerazione la presenza di punti di giunzione). In aggiunta, viene discussa una possibile strategia per accoppiare questo modello 1D con modelli FSI 3D. Gli esperimenti numerici rilevanti riportati in questo lavoro includono una verifica rispetto a risultati noti in letteratura (volta a dimostrare la correttezza del metodo numerico e della sua implementazione), lo studio di un singolo impulso di pressione in una simulazione accoppiata 3D-1D (per evidenziare possibili problemi numerici all'interfaccia di accoppiamento) e un'analisi di convergenza dettagliata (dove mostriamo la subottimalità degli schemi AB per la presente approssimazione numerica).