Guiding adaptivity in projection-based surrogates via model diagnostics

Many engineering applications, from product design to uncertainty quantification, require repeated numerical simulations, resulting in an elevated consumption of computational resources. Reduced Order Modeling (ROM) provides a way to mitigate such computational burden, leveraging tools from numerical analysis and machine learning. In this context, adaptive-basis methods represent a significant advancement in the ROM literature, offering a latent space approach in which the reduced basis evolves with the system's parameters. However, the practical deployment of data-driven approaches is often hindered by the lack of a priori guidelines for two critical architectural choices: the optimal dimension of the adaptive basis and the partitioning of the parameter space into adaptive and non-adaptive components. This work addresses these challenges by developing diagnostic a priori tools, designed to guide the configuration of the adaptive-basis setting with preliminary statistical analysis. We employed a weighted Principal Orthogonal Decomposition framework, which incorporates local weighting in the parameter space to emulate the flexible behavior of the adaptive-basis approaches without the computational cost of a training phase. Leveraging this framework, two local adaptivity metrics are proposed: a derivative-based score measuring the velocity of the basis variation due to a parameter change, and a variance-based one adapted from the first-order Sobol' sensitivity indices. Moreover, by analyzing the singular values characterizing the weighted dataset, we are able to predict the performance of a trained model. Finally, we designed a complete pipeline able to produce all the required architectural information. The proposed methodology is first validated on a synthetic dataset to verify mathematical consistency and then applied to benchmark problems, including the unsteady Navier-Stokes equations and the equations of linear elasticity. Numerical results demonstrate that the proposed scores effectively identify the dominant drivers of basis variability, specifically characterizing time as the optimal adaptive parameter. These findings are corroborated by reconstruction error analysis of trained models, namely the Deep Orthogonal Decomposition (DOD), confirming that the developed framework provides a robust, quantitative basis for optimizing adaptive-basis architectures, thereby replacing heuristic trial-and-error with a systematic, data-driven pipeline, and providing the first application of the DOD to time-dependent problems.

Molte applicazioni ingegneristiche, dalla progettazione di prodotti alla quantificazione dell'incertezza, richiedono simulazioni numeriche ripetute, con conseguente elevato consumo di risorse computazionali. Il Reduced Order Modeling (ROM) offre un modo per mitigare tale onere computazionale, sfruttando strumenti di analisi numerica e machine learning. In questo contesto, i metodi a base adattativa rappresentano un significativo progresso nella letteratura sui ROM, offrendo un approccio a spazio latente in cui la base ridotta evolve con i parametri del sistema. Tuttavia, l'implementazione pratica di approcci basati sui dati è spesso ostacolata dalla mancanza di linee guida a priori per due scelte architetturali critiche: la dimensione ottimale della base adattativa e la partizione dello spazio dei parametri in componenti adattive e non adattive. Questo lavoro affronta queste sfide sviluppando strumenti diagnostici a priori, progettati per guidare la configurazione dell'impostazione della base adattativa con analisi statistiche preliminari. Abbiamo utilizzato un framework di Principal Orthogonal Decomposition ponderata, che incorpora la ponderazione locale nello spazio dei parametri per emulare il comportamento flessibile degli approcci a base adattativa senza il costo computazionale di una fase di training. Sfruttando questo framework, vengono proposte due metriche di adattività locale: un punteggio basato sulla derivata che misura la velocità di variazione della base dovuta a una variazione di parametro, e uno basato sulla varianza adattato a partire dagli indici di sensibilità del primo ordine di Sobol'. Inoltre, analizzando i valori singolari caratterizzanti il dataset pesato, siamo in grado di prevedere le prestazioni di un modello addestrato. Infine, abbiamo progettato una pipeline completa in grado di fornire tutte le informazioni architetturali richieste. La metodologia proposta viene prima validata su un dataset sintetico per verificarne la coerenza matematica e poi applicata a problemi benchmark, tra cui le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie e le equazioni di elasticità lineare. I risultati numerici dimostrano che i punteggi proposti identificano efficacemente i fattori dominanti della variabilità di base, in particolare caratterizzando il tempo come parametro adattivo ottimale. Questi risultati sono corroborati dall'analisi degli errori di ricostruzione dei modelli addestrati, nello specifico la Deep Orthogonal Decomposition (DOD), confermando che il framework sviluppato fornisce una base quantitativa solida per ottimizzare le architetture a base adattiva, sostituendo così il metodo euristico per tentativi ed errori con una pipeline sistematica basata sui dati e fornendo la prima applicazione della DOD a problemi dipendenti dal tempo.