Differential prediction-enhanced Monte Carlo: a fast machine learning-aided variance reduction method

Monte Carlo simulations are essential for pricing financial derivatives but suffer from high computational costs. To address this, the Prediction-Enhanced Monte Carlo (PEMC) framework utilizes neural networks as control variates to reduce variance while maintaining unbiasedness. By shifting the bottleneck of data generation and model training to an offline phase, PEMC leverages these neural architectures to replace expensive online sample-path generation with highly efficient evaluations. However, standard PEMC requires large training datasets to be effective, leading to a computationally expensive offline phase. This thesis explores the effectiveness of the PEMC approach and proposes Differential Prediction-Enhanced Monte Carlo, a method that integrates Principal Component Analysis (PCA) and differential PCA to filter input features based on their relevance to the payoff. By exploiting path-wise differentials, this approach allows the model to be trained on significantly smaller datasets without sacrificing accuracy. In this way, the model can be trained more frequently, generating predictors able to adapt more effectively to evolving market conditions. Both methods are validated across realistic pricing scenarios. Numerical results show that PEMC achieves a variance reduction of approximately 30-70% compared to standard Monte Carlo. Most importantly, the differential extension maintains this performance using orders of magnitude fewer training samples (e.g., 128 vs. 1.28 million), drastically reducing the computational bottleneck of the offline phase.

Le simulazioni Monte Carlo sono essenziali per il pricing di derivati finanziari complessi, ma soffrono di costi computazionali elevati. Per risolvere questo problema, il framework Prediction-Enhanced Monte Carlo (PEMC) usa delle reti neurali come variabili di controllo per ridurre la varianza, mantenendo la stima non distorta. Spostando il collo di bottiglia della generazione dei dati e l'allenamento del modello ad una fase offline, il metodo PEMC sfrutta le architetture neurali per rimpiazzare la costosa generazione online di traiettorie campionarie casuali con valutazioni altamente efficienti. Tuttavia, per essere efficace, il metodo PEMC richiede grandi dataset di addestramento, comportando una fase offline computazionalmente costosa. Questa tesi esplora l'efficacia del metodo PEMC e propone il Prediction-Enhanced Monte Carlo Differenziale, che integra l'Analisi delle Componenti Principali (PCA) con la PCA differenziale per filtrare le variabili di input del problema in base alla loro rilevanza nei confronti del payoff. Sfruttando i differenziali calcolati per ogni singolo percorso di simulazione, questo approccio permette di allenare il modello su dataset molto più piccoli senza sacrificare accuratezza. In questo modo, il modello può essere allenato più frequentemente, generando predittori in grado di adattarsi con maggiore efficacia alle condizioni di mercato del momento. Entrambi i metodi vengono validati tramite scenari di pricing realistici. I risultati di questi esperimenti mostrano che il metodo PEMC ottiene una riduzione di varianza tra il 30 e il 70% circa rispetto al metodo Monte Carlo standard. Soprattutto, l'estensione differenziale mantiene queste prestazioni utilizzando ordini di grandezza in meno di campioni di addestramento (ad esempio, 128 contro 1.28 milioni), riducendo drasticamente il collo di bottiglia computazionale della fase offline.