Reduced basis method for 3D problems governed by parametrized PDEs and applications

In this thesis we will deal with the creation of a Reduced Basis (RB) approximation of parametrized Partial Differential Equations (PDE) for three-dimensional problems. The the idea behind RB is to decouple the generation and projection stages (Offline/Online computational procedures) of the approximation process in order to solve parametrized (PDE) in a fast, cheap and reliable way. The RB method, especially applied to 3D problems, allows great computational savings with respect to the classical Galerkin Finite Element (FE) Method. The standard FE method is typically ill suited to (i) iterative contexts like in optimization, sensitivity analysis and many queries in general and (ii) real time evaluation. We consider both coercive and noncoercive PDEs. For each class we discuss the steps to set up a RB approximation, either from an analytical and a numerical point of view. Then we present the applications of the RB method to three different problems of engineering interest and applicability: (i) a steady thermal conductivity problem in heat transfer; (ii) a linear elasticity problem; (iii) Stokes flows with emphasis on geometrical and physical parameters.

In questa tesi tratteremo la creazione di un’approssimazione a Basi Ridotte (RB) per Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (EDP) parametrizzate per problemi tridimensionali. L’idea alla base del metodo RB é quella di disaccoppiare le fasi di generazione e di proiezione del processo di approssimazione (procedura computazionale Offline/Online) in modo da risolvere EDP parametrizzate in modo veloce, accurato e affidabile. Il metodo RB, specialmente se applicato a problemi 3D, permette un grande risparmio computazionale rispetto al classico Metodo Galerkin-Elementi Finiti (EF). I metodi EF non sono adatti in un contesto iterativo, come (i) ottimizzazioni e (ii) analisi di sensitività, dove una procedura iterativa e’ richiesta. In questo lavoro considereremo due classi di EDP per modellare problemi coercivi e non coercivi. Per ciascuna classe discuteremo i dettagli per creare un’approssimazione RB, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto di vista prettamente numerico. Infine presenteremo l’applicazione del Metodo RB a tre differenti problemi con un certo interesse ingegneristico e applicabilitá: (i) conducibilitá termica in trasmissione del calore, (ii) elasticitá lineare e (iii) flussi di Stokes con una certa enfasi sulla scelta dei parametri geometrici e fisici.