Schrodinger bridges on the manifold of SPD matrices

Symmetric and positive definite (SPD) matrices arise in many scientific contexts, and one is often confronted with the challenge of finding a meaningful explanation for the interaction between two sets of SPD matrix-valued data. A prominent example comes from neuroscience, where it is desirable to understand the relationship between structural connectivity and functional connectivity, two complementary ways of characterizing the brain. A powerful approach to this problem is generative modeling: by viewing the two different types of data as samples from two different distributions, one can learn an interpolation between them, which can then be inspected to identify interpretable interactions. In this work, we introduce and study, from a theoretical point of view, Schrödinger bridges over the manifold of SPD matrices endowed with the so-called log-Cholesky Riemannian metric. The motivation for using Schrödinger bridges to study relationships between distributions is that they admit a physical interpretation, making them particularly suitable for scientific inspection. Moreover, the simple structure of this Riemannian manifold allows us to develop a simple strategy for learning Schrödinger bridges between distributions over it by leveraging [SF]2M, an existing framework for fitting Schrödinger bridges in Euclidean space. Achieving this goal first requires a different formulation of [SF]2M, together with a proof of its correctness under suitable assumptions. We then provide a precise characterization of the SPD manifold endowed with this geometry; in particular, we show that it is globally isometric to Euclidean space through an isometric diffeomorphism. Finally, we study concepts central to the Schrödinger bridge framework, such as Brownian motion and Brownian bridges on the SPD manifold, before concluding with the proposed framework for learning Schrödinger bridges under this geometry.

Le matrici simmetriche e definite positive (SPD) emergono in numerosi contesti scientifici ed è spesso necessario affrontare il problema di individuare una spiegazione significativa dell'interazione tra due insiemi di dati costituiti da matrici SPD. Un esempio rilevante proviene dalle neuroscienze, dove è di particolare interesse comprendere la relazione tra connettività strutturale e connettività funzionale, due modalità complementari di caratterizzare il cervello. Un approccio efficace a questo problema è rappresentato dalla modellazione generativa: considerando i due tipi di dati come campioni estratti da due distribuzioni differenti, è possibile apprendere un'interpolazione tra di esse, analizzabile per individuare interazioni interpretabili. In questo lavoro introduciamo e studiamo i ponti di Schrödinger sulla varietà delle matrici SPD dotata della metrica riemanniana log-Cholesky. La motivazione alla base del loro impiego nello studio delle relazioni tra distribuzioni risiede nella loro interpretazione fisica, che li rende particolarmente adatti all'analisi scientifica. Inoltre, la struttura semplice di questa varietà consente di sviluppare una strategia per apprendere ponti di Schrödinger tra distribuzioni definite su di essa, sfruttando [SF]2M, un framework esistente per il caso euclideo. Il raggiungimento di questo obiettivo richiede innanzitutto una riformulazione di [SF]2M, accompagnata da una dimostrazione della sua correttezza sotto opportune ipotesi. Forniamo quindi una caratterizzazione della varietà delle matrici SPD dotata di questa geometria, mostrando che essa è globalmente isometrica allo spazio euclideo tramite un diffeomorfismo isometrico. Infine, studiamo alcuni concetti fondamentali del formalismo dei ponti di Schrödinger, quali il moto browniano e i ponti browniani sulla varietà SPD, e concludiamo presentando il framework proposto per l'apprendimento di ponti di Schrödinger in questa geometria.