Optimal market making with Hawkes processes: a viscosity solution approach

We investigate the continuous-time optimal control problem of a market maker aiming to maximize their expected utility while managing inventory risk in Limit Order Books characterized by self-exciting order flow. While standard stochastic control models rely on memoryless Poisson processes, we use Hawkes processes to model the clustering property of orders. However, their path-dependent intensity breaks the Markovian structure of the system. Consequently, we introduce an infinite-dimensional space of integrable functions that summarizes the history of past jumps and we formulate a Hamilton-Jacobi-Bellman equation associated with our stochastic optimal control problem. To handle the lack of classical smooth solutions, we rely on a viscosity framework, establishing the existence and uniqueness of a continuous viscosity solution and providing the explicit analytical form of the optimal bid and ask spreads.

Analizziamo il problema di controllo ottimo a tempo continuo di un market maker il cui obiettivo è massimizzare la sua utilità attesa gestendo allo stesso tempo il rischio di inventario all'interno di Limit Order Book caratterizzati da un flusso di ordini auto-eccitante. Mentre i modelli standard di controllo stocastico si basano su processi di Poisson privi di memoria, in questo lavoro utilizziamo i processi di Hawkes per modellare la proprietà di clustering degli ordini. Tuttavia, la loro intensità path-dependent rende la struttura del sistema non Markoviana. Di conseguenza, introduciamo uno spazio a dimensione infinita di funzioni integrabili che riassume la storia dei salti passati e scriviamo l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman associata al nostro problema di controllo ottimo stocastico. Poiché non sono presenti classiche soluzioni regolari, ricorriamo alla teoria della viscosità, stabilendo l'esistenza e l'unicità di una soluzione di viscosità continua, fornendo la forma analitica esplicita degli spread ottimi lato bid e lato ask.