Analisi delle proprietà regolarizzanti e asintotiche di alcune evoluzioni nonlineari : un approccio tramite disuguaglianze funzionali

The main goal of this Master Thesis was to investigate connections between the validity of suitabile functional inequalities in some weighted Sobolev spaces and Lq-Lr regularizing and decay estimates for the solutions of certain nonlinear evolution equations, basically the Weighted Porous Media Equation (shortened WPME) and the Weighted p-Laplacian Evolution (shortened WpLE). These connections are well-known in the linear context, while only relatively recent papers gave rise to the possibility of their existence also when considering nonlinear evolutions such as the ones just mentioned. In a first part of the work we prove that the validity of a p-Poincaré inequality (for zero-mean functions) with respect to two weight functions involved in the equation is necessary and sufficient for the solutions of the WpLE (with homogeneous Neumann boundary conditions) to satisfy a suitabile family of regularizing and decay estimates. This last result was already known to hold true for the same equation but assuming homogeneous Dirichlet boundary conditions. Afterwards we prove a similar property for the solutions of the WPME with homogeneous Dirichlet boundary conditions, not before having established some well-posedness results which were not available in the literature. Then we investigate again regularizing and decay estimates for the solutions of the WPME with homogeneous Neumann boundary conditions. Firstly the analysis is performed under the hypothesis that a weighted 2-Poincaré inequality (for zero-mean functions) holds in the domain, proving an Lq-Lr regularizing effect and a negative-power-type convergence to zero for zero-mean solutions and an exponential convergence to the mean value for essentially bounded non-zero-mean solutions. Secondly the same analysis is provided under the stronger assumption that a weighted Sobolev inequality holds. This case, actually, had already been studied, and the regularization was known to turn every integrable datum into an essentially bounded solution (which is not true when only a Poincaré inequality holds). However, we improve some of those previous estimates. Finally, a whole chapter is devoted to illustrate several examples (taken from the related literature) of domains and weights that satisfy p-Poincaré (and in certain cases also Sobolev) inequalities.

L'obiettivo principale di questa tesi di Laurea Magistrale era analizzare possibili connessioni tra la validità di opportune disuguaglianze funzionali in spazi di Sobolev pesati e il soddisfacimento di determinate stime regolarizzanti e asintotiche di tipo Lq-Lr per le soluzioni di alcune equazioni evolutive non-lineari, in particolare l'equazione dei mezzi porosi pesata (WPME, Weighted Porous Media Equation) e l'evoluzione del p-Laplaciano pesato (WpLE, Weighted p-Laplacian Evolution). Tali connessioni sono ben note nel contesto lineare, tuttavia recenti lavori hanno mostrato la possibilità che esse possano aver luogo anche quando si considerino evoluzioni non-lineari come quelle citate. In una prima parte del lavoro dimostriamo che la validità di una disuguaglianza di p-Poincaré con la media, rispetto a due pesi presenti nell'equazione, è necessaria e sufficiente affinché le soluzioni della WpLE (con condizioni di Neumann omogenee) soddisfino una certa famiglia di stime regolarizzanti e asintotiche. Quest'ultimo risultato era già noto essere vero per la stessa equazione ma con condizioni di Dirichlet omogenee. Successivamente dimostriamo una simile proprietà per le soluzioni della WPME con condizioni di Dirichlet omogenee, non prima di aver stabilito per essa alcuni risultati di buona posizione che in letteratura non erano presenti in un ambito sufficientemente generale. In seguito studiamo nuovamente stime regolarizzanti e asintotiche per la WPME con condizioni di Neumann omogenee. In primo luogo, sotto l'ipotesi che nel dominio valga una disuguaglianza di 2-Poincaré con la media pesata, proviamo un effetto regolarizzante di tipo Lq-Lr e la convergenza a zero dell'ordine di una potenza del tempo negativa per soluzioni a media nulla e una convergenza esponenziale alla media per soluzioni essenzialmente limitate a media non nulla. In secondo luogo svolgiamo la medesima analisi sotto l'ipotesi più forte che valga una disuguaglianza di Sobolev pesata. Tale problema, nella sostanza, era già stato affrontato, e si era dimostrato che la regolarizzazione portava dati integrabili in soluzioni essenzialmente limitate (il che in generale è falso se è valida solo una disuguaglianza di Poincaré). In questo lavoro riusciremo a migliorare alcune delle precedenti stime note. Infine, un intero capitolo è volto a illustrare molti esempi (riportati dalla corrispondente letteratura) di domini e pesi che soddisfano disuguaglianze di p-Poincaré (e in alcuni casi disuguaglianze di Sobolev).