Estensione in N-D di prodotto vettore e rotore e loro applicazioni

Cross product and "curl" operations frequently occur in many problems of physics and engineering. Cross product is used for moment calculus in Rational Mechanics , while in Fluid Dynamics and Electromagnetism the curl operator describes flux vorticity and appears in Maxwell's equations. Though these mathematical operators are widely used in various scientific fields, they are commonly expressed in a classic 3-D formalism which creates some paradoxes and difficulties. In fact, instead of analogous operators like scalar product and divergence, cross product and curl are defined just in 3-D space, they don't respect reflection rules and invoke the existence of "clockwise" or "counter-clockwise" sense, "right-handed" or "left-handed" frames. The proposal of this work consists in an N-D extension of the concepts of curl and cross product, where N is an arbitrary number of spatial dimensions. A new simpler and more general notation will be introduced and used to re-demonstrate theorems whose application fields are more restricted at present. Among the main results, we may recall e.g.: in Rational Mechanics, the re-writing of moments and laws for rotational motion; in Fluid Dynamics and Electromagnetism, the re-interpretation of vorticity and magnetic field with the consequent lack of magnetic monopoles; N-D extension for Gradient Theorem and Stoke's Theorem for curl.

Le operazioni di prodotto vettore e rotore compaiono frequentemente in vari ambiti della fisica e dell'ingegneria. In Meccanica Razionale il prodotto vettore viene utilizzato per il calcolo dei momenti, mentre in Fluidodinamica e in Elettromagnetismo il rotore descrive la vorticità di un flusso e compare nelle equazioni di Maxwell. Nonostante l'ampio uso di questi operatori in ambito scientifico, essi vengono comunemente espressi in un formalismo tipico delle 3-D che genera paradossi e difficoltà. A differenza di operatori analoghi quali il prodotto scalare e la divergenza, infatti, prodotto vettore e rotore sono definiti solo in 3-D, non rispettano la riflessione e invocano l'esistenza di sensi "orari" o "anti-orari" o di mani "destre" o "sinistre". Questa tesi si propone di estendere i concetti di prodotto vettore e rotore in N-D, numero arbitrario di dimensioni, introducendo una notazione più semplice e generale e con essa ridimostrare alcuni teoremi il cui ambito di validità è attualmente più ristretto. Tra i principali risultati, si citano: in Meccanica Razionale la riscrittura di momenti e delle leggi per il moto rotario; in Fluidodinamica ed Elettromagnetismo, la reintepretazione di vorticità e campo magnetico e l'inesistenza dei monopòli magnetici; l'estensione in N-D del Teorema del gradiente in forma generale e del Teorema di Stokes per il rotore.