Opzioni di prepayment nei mutui

The aim of this work is to present a new procedure for pricing prepayment options related to callable products. The analysis is carried out in the mortgage market context in which the possibility of paying off the loan before the expiration leads to a significant callability risk for the lender. In the italian market, the prepayment option was introduced by law in 2007 and at present is getting more and more relevant, being exercised in nearly half the cases. The pricing of this option is thus necessary in order to determine the correct spread that should be applied to the mortgage. The prepayment option is, in fact, a Bermudan swaption that could be defined on an amortising notional, depending on the mortgage features. In this work, the Bermudan option price is calculated in two ways: with a trinomial tree technique and using Montecarlo simulations. The first method is applied to the G2++ model, which is equivalent to the Hull-White two-factor model but it is easier to implement in practice. The model is calibrated with a new approach based on an approximated Black formula for pricing swaptions, which proves to be very accurate. This technique is more efficient than current implementations of the algorithm which imply twodimension integration or tree-based pricing even for the calibration. A new approach is developed also for the trinomial tree pricing method, avoiding the numerical integration of the short rate, which is currently used in this algorithm. The whole procedure leads to very accurate results while reducing the computational costs if compared to current versions of the algorithm. The second procedure for pricing the Bermudan option is defined on the multi-factor dynamics of the Libor Market Model and thus implemented using Montecarlo simulations. A lower and an upper bound on the price are respectively calculated with the Longstaff-Schwartz and Andersen- Broadie methods. In both cases the option value is determined at each time using a linear combination of basis functions; Montecarlo simulations allow to estimate the basis coefficients through backward induction. The lower bound is given by the option value at the initial time while the upper one is obtained by means of specific processes depending on the lower bounds at each time. The analysis of the basis coefficients shows their big instabilities challenging the validity of the Longstaff-Schwartz method in the multidimensional case. A comparison between the two pricing algorithms highlights the advantages of the trinomial tree method based on the G2++ model as an easy to implement, accurate and efficient procedure. The mortgage spread component related to the prepayment option price proves to be quite significant, stressing the importance of an adequate risk management of the callable feature.

In questa tesi si analizza un nuovo metodo per determinare il prezzo delle opzioni di prepayment associate ai prodotti di tipo callable. Si considera come riferimento il mercato dei mutui, dove la possibilità di estinguere anticipatamente il finanziamento determina un significativo rischio callability per l'emittente. Nel mercato italiano, l'opzione di prepayment è presente dall'aprile 2007 con l'entrata in vigore della cosiddetta "Legge Bersani" che stabilisce la nullità di qualsiasi clausola che preveda una commissione di anticipata estinzione sui mutui. Il progressivo aumento delle surroghe e rinegoziazioni, che interessano oggi quasi la metà dei contratti, evidenzia la necessità di considerare il valore dell'opzione di prepayment nel calcolo dello spread del mutuo. L'opzione di prepayment è, di fatto, una swaption bermudiana che può essere definita su un nozionale ammortizzato a seconda delle caratteristiche del mutuo. In questo lavoro, il prezzo dell'opzione è determinato in due modi: mediante albero trinomiale e attraverso simulazioni di Montecarlo. Il primo metodo è sviluppato tramite il modello G2++, che è equivalente al modello di Hull-White a due fattori ma risulta più semplice da implementare. Il modello è calibrato mediante una nuova tecnica che prevede l'utilizzo di una formula di Black approssimata per il calcolo delle swaption. L'utilizzo di una formula esplicita e la bontà dell'approssimazione considerata rendono l'algoritmo più efficiente rispetto alle attuali implementazioni che prevedono integrazioni in due dimensioni o tecniche ad albero anche in fase di calibrazione. Per quanto riguarda il pricing mediante albero trinomiale, si considera una nuova procedura che permette di evitare l'integrazione numerica del tasso a breve attualmente prevista dall'algoritmo. Il nuovo metodo garantisce un alto livello di precisione dei risultati riducendo, allo stesso tempo, il costo computazionale rispetto alle attuali implementazioni dell'algoritmo. Il secondo metodo di pricing analizzato è definito sulla dinamica multifattoriale del Libor Market Model sviluppata attraverso simulazioni di Montecarlo. Un lower e un upper bound al prezzo sono determinati rispettivamente con le tecniche di Longstaff-Schwartz e Andersen-Broadie. In entrambi i casi il valore dell'opzione è calcolato su ciascun tempo mediante combinazione lineare degli elementi di una base di calcolo; le simulazioni di Montecarlo permettono di stimare i coefficienti della base tramite induzione all'indietro. Il lower bound è dato dal valore dell'opzione al tempo iniziale mentre l'upper bound è ottenuto definendo opportuni processi a partire dai lower bound su ciascun tempo. L'analisi dei coefficienti della base mostra delle instabilità che mettono in discussione la validità dell'algoritmo di Longstaff-Schwartz nel caso multidimensionale. Il confronto tra i due metodi di pricing evidenzia le forti potenzialità della tecnica ad albero implementata con il modello G2++, quale strumento ideale a garantire l'accuratezza dei risultati e l'efficienza dell'algoritmo. Nell'ambito dei mutui, la componente di spread associata all'opzione di prepayment risulta decisamente significativa dimostrando l'importanza di un'adeguata gestione del rischio callability.