Metodo dei domini fittizi per problemi di interazione fluido-struttura

This thesis is focussed on the solution of the Navir-Stokes equations in presence of immersed rigid bodies, eventually in motion inside the fluid. The final goal is the simulation of the blood flow around a simplified geometry of an artificial cardiac valve. The fluid-structure interaction problem is modelled through a fictitious domain method, firstly introduced by Hyman for the solution of elliptic problems on complex domain with Dirichlet boundary conditions. The derivation of such a method applied to the Navier-Stokes equations and its finite element discretization is widely reported in this thesis, following the works of Glowinski. Moreover, an efficient preconditioner for the algebraic system deriving from the dicretized problem is presented as well. The numerical solver has been developed with FreeFem++ and was firstly validated through comparison with the benchmark by Turek for the 2D flow around a fixed cylinder with a Reynolds number Re=100. Afterwards the fluid-structure interaction solver has been validated through the simulation of the flow around a cylinder free to oscillate spanwise, again in 2D and again at a Reynolds number Re=100. Once the solver has been validated we move to the simulation of a simplified 2D geometry of an artificial cardiac valve. The simulations have been run at a moderate Reynolds number (Re=500), lower than the real one of Re=7000 reported in literature. For these simulations the derivation of a new quasi-implicit fluid-structure coupling scheme was needed and the solution obtained with the latter method has been compared with the ones obtained with the former one, used also for the simulation of the free-oscillation of the cylinder. Finally, the results obtained using different modelling of the repulsive actions for the contact has been compared each other.

Questo lavoro di tesi riguarda la soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes attorno a corpi rigidi eventualmente in movimento. Obiettivo finale è quello di simulare il flusso sanguigno attorno ad una geometria semplificata di valvola cardiaca artificiale. Il problema di interazione fluido-struttura viene modellato tramite un metodo dei domini fittizi, presentato inizialmente da Hyman per la soluzione di problemi ellittici su domini complessi cui sono applicate condizioni al contorno di Dirichlet. La derivazione di tale metodo applicato alle equazioni di Navier-Stokes e la sua discretizzazione ad elementi finiti sono ampiamente trattate in questa tesi, seguendo i lavori di Glowinski. Inoltre, viene proposto un precondizionatore efficiente per il sistema algebrico derivante dal problema discreto. Il solutore numerico è stato sviluppato tramite la libreria a elementi finiti FreeFem++ ed è stato per prima cosa validato tramite comparazione con il benchmark sviluppato da Turek per la corrente 2D attorno ad un cilindro fermo a Reynolds Re=100. Successivamente viene validato il solutore fluido-struttura simulando il flusso attorno ad un cilindro elasticamente sospeso, sempre in 2D e a Re=100. Una volta validato il codice si passa alla simulazione di una geometria semplificata 2D di una valvola cardiaca artificiale. Le simulazioni vengono effettuate a numeri di Reynolds moderati (Re=500), inferiori ai valori reali di Re=7000 che vengono indicati in letteratura. Per queste simulazioni si è resa necessaria la derivazione di un nuovo schema di accoppiamento fluido-struttura quasi-implicito e viene mostrato come quest'ultimo schema garantisca maggior stabilità sulla soluzione rispetto allo schema implementato per la soluzione del cilindro elasticamente sospeso. Infine, vengono comparati i risultati ottenuti utilizzando diverse funzioni per la modellazione delle azioni repulsive per la gestione dei contatti.