Problemi ellittico-parabolici degeneri al bordo e buona posizione del problema derivante dal modello di Heston

The main aim of this thesis is to study elliptic and parabolic problems when the elliptic operator is degenerating at the boundary of the domain, and their application to several situations in financial mathematics, mainly the Heston model. In the first part we describe the Heston model, with its main idea of relaxing the Black-Scholes hypothesis of constant volatiliy for the stock and, instead, using a CIR-type stochastic process to model it. Since the partial differential equation that allows to price an option within the Heston model is a parabolic- type equation whose elliptic operator degenerates at the boundary, in the second part of this work we study elliptic and parabolic problems degenerating at some subsets of the boundary. We take care of two different viewpoints: on one side, the deterministic tools of Functional Analysis and maximum principles will allow us to build existence and uniqueness results; on the other side, we analyze the problem through a stochastic approach by studying the process generated by the considered operator and the corresponding boundary points classification. At this purpose, we’ll see that the arising Cauchy and Cauchy-Dirichlet problems don’t imply, as is the case for non-degenerate problems, prescribing boundary conditions on the whole boundary: it depends on the different nature of the subsets composing the boundary. These two viewpoints were in the past too often considered separately and are instead presented here together: we try to highlight similarities and differences and to generalize the analysis by unifying it as much as possible. Subsequently, we consider many financial models that show degenerations of this type and, most importantly, we highlight the non-unicity problem, that in general doesn’t show up in non-degenerating problems. This point is studied in a stochastic viewpoint too, by showing that non-unicity correspond to price processes which are strict local martingales; the financial implications are extensively treated as well. Then, we proceed to the study of existence and uniqueness for the pricing equation of an European option within the Heston model, by giving an n-dimensional generalization and studying a notion of solution which guarantees unicity. In the end, the same problem is studied for the pricing of American options, in whose case the problem is much more complicated and implies the use of Functional Analysis techniques in order to study a degenerate non-stationary variational inequality.

In questa tesi ci si propone di studiare i problemi ellittici e parabolici quando l’operatore degenera in alcuni tratti di bordo del dominio, e la loro applicazione a diversi problemi di rilievo in finanza, in particolare allo studio del modello di Heston. Nella prima parte si descrive il modello finanziario di Heston, che si basa sull’idea di rilassare l’ipotesi avanzata nel modello di Black-Scholes di volatilità costante del titolo azionario, e modellizzarla con un processo stocastico di tipo CIR. Siccome l’equazione alle derivate parziali che permette di valutare il prezzo di un’opzione nel contesto del modello di Heston è un’equazione parabolica il cui operatore ellittico degenera al bordo, nella seconda parte di questo lavoro ci si occupa dello studio dei problemi ellittici e parabolici degeneri al bordo. Tale studio viene affrontato da due punti di vista differenti: da un lato, in un’ottica deterministica, si sono costruiti teoremi di esistenza ed unicità mediante le tecniche di Analisi Funzionale e i principi di massimo; mentre dall’altro, il problema è stato analizzato in ottica stocastica studiando le proprietà del processo stocastico generato dall’operatore in gioco e la relativa classificazione dei punti di frontiera. In particolare si vedrà che i problemi di Dirichlet e Cauchy-Dirichlet studiati non prevedono, a differenza del caso non degenere, la prescrizione delle condizioni al bordo su tutto il bordo del dominio, ma occorre studiare la natura delle diverse regioni che compongono la frontiera. Queste due ottiche, che in passato sono state troppo spesso analizzate separatamente, vengono qui presentate assieme, cercando di metterne in luce analogie e complementarietà e di generalizzarne la trattazione rendendola il piu` unitaria possibile. Successivamente, si analizzano i numerosi modelli in finanza in cui compaiono problemi di questo tipo e si mette in luce in particolare il problema della non-unicità delle soluzioni, che invece è in generale scongiurato per le situazioni non degeneri corrispondenti. Tale questione è studiata anche da un punto di vista stocastico, mostrando che le non unicità compaiono in presenza di processi di prezzo che sono martingale strettamente locali, e dal punto di vista delle interpretazioni e implicazioni finanziarie. A questo punto, si procede allo studio della buona posizione del problema di valutazione di opzioni Europee nell’ambito di Heston, fornendo una generalizzazione n-dimensionale e studiando una nozione di soluzione che garantisce l’unicità. Infine, si passa allo studio del medesimo problema nel caso di titoli derivati Americani, per i quali il problema è più complesso e si presenta nella forma dello studio, con le tecniche dell’Analisi Funzionale, di una disequazione variazionale non stazionaria con operatore degenere.